[논문 리뷰] Random walk approximation of BSDEs with H{\\"o}lder continuous terminal condition

Christel Geiß, Céline Labart외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 06. 19.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 34인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 국소 헬더 연속인 종료 조건을 가진 마코프 백색 확률 미분 방정식(BSDE)을 해결하기 위한 랜덤 워크 기반 수치적 방법의 $L_2$ 수렴 속도를 확립한다. 관련 PDE 해의 두 번째 도함수 성질을 분석함으로써, $Y$ 성분의 오차는 수렴 속도 $h^{eta/4}$를 가지며, $Z$ 성분의 오차는 $h^{eta/4}/\sqrt{T - v}$의 속도로 수렴함을 증명한다. 여기서 $\beta$는 헬더 지수이고 $h$는 시간 간격이다.

ABSTRACT

In this paper we consider the random walk approximation of the solution of a Markovian BSDE whose terminal condition is a locally H{\\"o}lder continuous function of the Brownian motion. We state the rate of the L 2-convergence of the approximated solution to the true one. The proof relies in part on growth and smoothness properties of the solution u of the associated PDE. Here we improve existing results by showing some properties of the second derivative of u in space.

연구 동기 및 목표

• 기존 문헌에서 미해결 문제로 남아 있던, BSDE에 대한 고전적 랜덤 워크 근사 방법의 수렴 속도를 규명함으로써 격차를 메우기 위해.
• 기존의 랜덤 워크 스킴 결과를 확장하기 위해 관련 PDE의 해의 정규성, 특히 두 번째 공간 도함수에 중점을 두어 분석하기 위해.
• 헬더 연속 종료 조건 하에서 BSDE 해의 $Y$ 및 $Z$ 성분에 대한 정량적 수렴 속도를 제공하기 위해.
• 이전 연구를 향상시키기 위해 해의 도함수에 대한 더 날카운 수치적 추정을 유도함으로써 $L_2$ 노름에서 정밀한 오차 한계를 도출하기 위해.
• 이론적 결과를 수치 시뮬레이션을 통해 검증하여 유도된 수렴 속도의 실용적 관련성을 입증하기 위해.

제안 방법

• 랜덤 워크 근사 $B^n_t = \sqrt{h}\sum_{i=1}^{[t/h]} \varepsilon_i$ 를 사용하며, 여기서 $\varepsilon_i$ 는 i.i.d. 라데마처 증분이다. 이는 BSDE 내의 브라운 운동을 대체한다.
• 이중 시간점 $t_k = kh$ 에서 조건부 기대값과 생성자 $f$ 를 사용하여 백워드 재귀를 통해 근사해 $(Y^n, Z^n)$ 를 정의한다.
• 마리아빈 미분 이론 프레임워크를 사용하여 $Z$ 와 $Z^n$ 을 마리아빈 가중치를 통해 표현함으로써, $Z$ 성분의 정규성과 오차 구조를 분석할 수 있도록 한다.
• 특히 종료 조건 $g$ 가 국소 헬더 연속이며 지수 $\alpha$ 를 가진다는 가정 하에, 관련 PDE 해 $u$ 의 첫 번째 및 두 번째 공간 도함수에 대한 핵심 추정을 도출한다.
• 비마르코프성 특성을 가진 오차 동역학을 다루기 위해 $(w - r)^{-1/2}$ 형태의 특이 커널을 포함한 수정된 그론발라 타입 부등식을 오차 전파에 적용한다.
• 꼬리 부분을 제어하고 적분 가능성을 확보하기 위해 절단 및 국소화 기법을 사용하여 $Z$ 성분의 제어를 가능하게 하며, 최종 수렴 속도 유도에 기여한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 종료 조건이 국소 헬더 연속일 경우, BSDE에 대한 랜덤 워크 근사 스킴의 $L_2$-수렴 속도는 무엇인가?
• RQ2 특히 두 번째 공간 도함수에 중점을 두어, 관련 PDE 해의 정규성 특성이 수치적 스킴의 수렴 속도에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 이산 근사에서 마리아빈 가중치와 조건부 기대값의 구조를 활용함으로써 수렴 속도를 향상시킬 수 있는가?
• RQ4 수렴 속도는 종료 조건의 헬더 지수 $\alpha$ 에 어떻게 의존하는가?
• RQ5 시간 $v$ 가 종료 시간 $T$ 에 가까워질수록 $Z$ 성분의 오차는 어떻게 행동하며, 이를 정량화할 수 있는가?

주요 결과

• $Y$ 성분의 $L_2$ 오차는 시간 간격 $h$ 와 종료 조건의 헬더 지수 $\alpha \in (0,1]$ 에 대해 속도 $h^{\alpha/4}$ 로 수렴한다.
• $Z$ 성분의 $L_2$ 오차는 $h^{\alpha/4}/\sqrt{T - v}$ 의 속도로 수렴하며, 이는 종료 시간 $T$ 근처에서 오차가 증폭됨을 나타내며, 마리아빈 가중치 표현 내의 특이성과 일치한다.
• 이 증명은 관련 PDE 해 $u$ 의 두 번째 공간 도함수에 대한 새로운 추정을 기반으로 하며, Zhang [36, Theorem 3.2] 를 국소 헬더 연속 종료 조건의 경우로 확장한다.
• 수렴 속도는 마리아빈 미분 이론, PDE 정규성 이론, 특이 커널을 포함한 정밀한 그론발라 타입 부등식의 조합을 통해 도출된다.
• 수치 시뮬레이션은 이론적 수렴 속도를 확인하며, $Y$ 와 $Z$ 성분 모두에 대해 $h^{\alpha/4}$ 스케일링이 유효함을 입증한다.
• 분석은 종료 조건 $g$ 의 다항식 성장성과 헬더 연속성도 고려하여, 실용적인 BSDE의 넓은 범주에 적용 가능함을 보장한다.