[논문 리뷰] Rank Equalities Related to Generalized Inverses of Matrices and Their Applications

Yongge Tian|arXiv (Cornell University)|2000. 03. 30.

Matrix Theory and Algorithms참고 문헌 82인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 블록 행렬의 랭크 공식을 통해 일반화된 역행렬—예를 들어 모어-펜로즈, 드라지ン, 가중 모어-펜로즈 역행렬 등—을 포함하는 행렬 표현의 최대 및 최소 랭크를 계산하는 일반적인 방법을 개발한다. 핵심 랭크 등식을 수립하고, 행렬 방정식, 역순 법칙, 슈어 여수에 대한 응용을 통해 일반화된 역행렬을 포함하는 행렬 항등식이 성립하기 위한 필요 및 충분 조건을 랭크 분석을 통해 규명한다.

ABSTRACT

This paper is divided into two parts. In the first part, we develop a general method for expressing ranks of matrix expressions that involve Moore-Penrose inverses, group inverses, Drazin inverses, as well as weighted Moore-Penrose inverses of matrices. Through this method we establish a variety of valuable rank equalities related to generalized inverses of matrices mentioned above. Using them, we characterize many matrix equalities in the theory of generalized inverses of matrices and their applications. In the second part, we consider maximal and minimal possible ranks of matrix expressions that involve variant matrices, the fundamental work is concerning extreme ranks of the two linear matrix expressions $A - BXC$ and $A - B_1X_1C_1 - B_2X_2C_2$. As applications, we present a wide range of their consequences and applications in matrix theory.

연구 동기 및 목표

• 다양한 일반화된 역행렬을 포함하는 행렬 표현의 랭크를 표현하고 계산하는 일반적인 방법을 개발하는 것.
• 랭크 기반 조건을 사용하여 일반화된 역행렬 이론 내 행렬 등식을 특성화하는 것.
• A − BXC 및 A − B1X1C1 − B2X2C2와 같은 행렬 표현의 최대 및 최소 가능한 랭크를 결정하는 것.
• 랭크 공식을 적용하여 역순 법칙 및 행렬 방정식의 일致성에 대한 필요 및 충분 조건을 도출하는 것.
• 삼각 블록 행렬의 극단적 랭크를 갖는 완성법을 제공하는 구조적 방법을 개발하는 것.

제안 방법

• 모어-펜로즈, 드라지ン, 군, 가중 모어-펜로즈 역행렬을 포함하는 행렬 표현에 대한 일반적인 랭크 공식을 유도한다.
• 복합 행렬 표현의 랭크를 표현하기 위해 블록 행렬 분해 및 슈어 여수 기법을 사용한다.
• Y가 X의 영공간에 있을 때 r(X) = r([X, Y]) − r(Y)와 같은 랭크 항등식을 적용하고, 블록 구조 하에서의 랭크 가법성을 활용한다.
• 변수 상삼각 블록 행렬 X를 포함한 표현의 극단적 랭크를 계산하기 위해 귀납적 방법을 활용한다.
• 블록 행렬 형태로 변환함으로써 A − BXC 및 관련 표현의 최대 및 최소 랭크에 대한 공식을 수립한다.
• 부분행렬과 프로젝터(예: EA = I − AA†) 사이의 랭크 등식을 활용하여 행렬 항등식을 위한 조건을 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 행렬의 일반화된 역행렬에 대해 역순 법칙 (ABC)† = C†B†A†가 성립하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 X가 변수 상삼각 블록 행렬일 때, 행렬 표현 A − BXC의 최대 및 최소 가능한 랭크는 무엇인가?
• RQ3 행렬 방정식 B1XC1 + B2Y C2 = A가 해를 갖는 조건은 무엇이며, 그 해 행렬의 극단적 랭크는 무엇인가?
• RQ4 블록 행렬이 특정 상삼각 블록 구조를 갖는 일반화된 역행렬을 가질 수 있는 조건은 무엇인가?
• RQ5 일반화된 역행렬을 포함하는 슈어 여수 및 행렬 합의 극단적 랭크를 어떻게 결정할 수 있는가?

주요 결과

• A − BXC의 최대 랭크는 A, B, C의 부분행렬을 포함하는 랭크 표현들의 최소값으로 주어진다.
• A − BXC의 최소 랭크는 블록 행렬 변환을 통해 유도된 특정 부분행렬의 랭크 합에서 겹치는 부분행렬의 랭크 합을 뺀 값으로 표현된다.
• 행렬 방정식 BXC = A는 A의 치역이 B의 치역에 포함되어 있고, A^T의 치역이 C^T의 치역에 포함되어 있으며, 특정 부분행렬의 랭크 조건이 만족될 때에만 일致한다.
• 상삼각 블록 행렬 A가 상삼각 블록 내부 역행렬을 갖는 것은 모든 k = 1, ..., p−1에 대해 r(A) = r(Q1k) + r(Qk+1,p) − r(Qk+1,k)일 때에 한하여 성립한다.
• A − BXC에서 최대 또는 최소 랭크를 갖는 상삼각 블록 행렬 X는 관련 블록 행렬의 대각선 블록에 대해 특정 랭크 조건이 만족될 때에만 유일하다.
• 논문은 귀납적 열, 행 및 하삼각 블록 채우기 절차를 활용하여 삼각 블록 행렬의 극단적 랭크 완성법을 명시적으로 제공한다.