[논문 리뷰] Rankin-Selberg L-functions in cyclotomic towers, III

Jeanine Van Order|arXiv (Cornell University)|2014. 10. 18.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 55인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 CM 확장 위에서 힐베르트 모듈 형식과 반항성계 히히 캐릭터에 관련된 랭킨-셀버그 L함수의 중심값에 대한 비영성 추정을 스펙트럴 분해와 p진 L함수를 이용하여 수립한다. 이는 로흐릴리히, 바츠알, 코르누트-바츠알 정리의 일반화이며, 아이와사와 주요 추측의 나눗셈을 통해 GL₂-형 아벨 다양체의 모를라-바일 랭크에 대한 추정을 도출한다.

ABSTRACT

Let $π$ be a cuspidal automorphic representation of $\operatorname{GL}_2$ over a totally real number field $F$. Let $K$ be a totally imaginary quadratic extension of $F$. We estimate central values of the $\operatorname{GL}_2 imes \operatorname{GL}_2$ Rankin-Selberg $L$-functions associated to $π$ times representations induced from Hecke characters of $K$ which are ramified only at a given prime ideal $\mathfrak{p}$ of $F$. More specifically, we use spectral decompositions of shifted convolution sums and relations to Fourier-Whittaker coefficients of genuine and non-genuine metaplectic forms to obtain nonvanishing estimates, averaging over primitive ring class characters of a given exact order. When $π$ corresponds to a holomorphic Hilbert modular form of arithmetic weight $k \geq 2$, we then derive finer results from the rationality theorems of Shimura, together with the existence of suitable $\mathfrak{p}$-adic $L$-functions. This allows us to generalize the theorems of Rohrlich, Vatsal, and Cornut-Vatsal to this setting. Finally, in a self-contained appendix, we explain how to use these results to deduce bounds for Mordell-Weil ranks of the associated $\operatorname{GL}_2$-type abelian varieties via existing Iwasawa main conjecture divisibilities.

연구 동기 및 목표

• CM 체 위에서 힐베르트 모듈 형식에 대해 로흐릴리히, 바츠알, 코르누트-바츠알 정리의 비영성 정리를 힐베르트 모듈 형식의 설정으로 확장한다.
• 아이와사와 주요 추측의 나눗셈을 이용해 GL₂-형 아벨 다양체의 모를라-바일 랭크에 대한 추정을 유도한다.
• 주어진 차수의 고리류 캐릭터로 휘어진 GL₂×GL₂ 랭킨-셀버그 L함수의 중심값에 대한 비영성 추정을 수립한다.
• 반항성계 및 순환 탑에 대한 다변수 설정에서 p진 L함수를 구성하고 분석한다.
• 스펙트럴 분해를 통해 이동 합성합의 분해를 메타플렉틱 형식의 푸리에-블랑슈타인 계수와 연결하여 산술적 응용을 한다.

제안 방법

• 이동 합성합의 스펙트럴 분해를 이용해 랭킨-셀버그 L함수의 중심 L값을 추정한다.
• 진실 및 비진실 메타플렉틱 형식의 푸리에-블랑슈타인 계수 간의 관계를 적용하여 비영성 결과를 도출한다.
• 고정된 차수의 원시 고리류 캐릭터에 대한 평균을 취해 중심 L값을 제어한다.
• 시무라의 유리성 정리와 p진 L함수의 존재를 이용해 스킴 무게 k ≥ 2의 정칙 힐베르트 모듈 형식에 대해 결과를 정밀화한다.
• 바이어슈트라스 준비정리를 적용해 다변수 p진 L함수를 특수화하고, 반항성계 차수가 높은 캐릭터에 대해 비영성을 도출한다.
• 아이와사와 주요 추측의 나눗셈을 적용해 L값의 비영성과 세일머 군의 코랭크, 모를라-바일 랭크 간의 관계를 규명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 힐베르트 모듈 형식과 반항성계 히히 캐릭터에 관련된 GL₂×GL₂ 랭킨-셀버그 L함수의 중심값이 언제 영이 되지 않을까?
• RQ2 다변수 아이와사와 이론에서 중심 L값의 비영성을 탐지하기 위해 p진 L함수는 어떻게 구성하고 특수화할 수 있을까?
• RQ3 L값의 비영성과 반항성계 및 순환 확장 위에서 모를라-바일 군의 구조 사이의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ4 스펙트럴 방법과 푸리에-블랑슈타인 계수는 메타플렉틱 형식의 맥락에서 중심 L값을 추정하는 데 어떻게 기여하는가?
• RQ5 아이와사와 주요 추측의 나눗셈과 비영성 정리를 통해 GL₂-형 아벨 다양체의 모를라-바일 랭크에 대해 어떤 추정을 도출할 수 있는가?

주요 결과

• 스펙트럴 분해와 메타플렉틱 형식 계수를 이용해 고정된 차수의 원시 고리류 캐릭터에 대한 평균을 취함으로써 중심 L값에 대한 비영성 추정이 수립된다.
• 스킴 무게 k ≥ 2의 정칙 힐베르트 모듈 형식에 대해, 시무라의 유리성과 p진 L함수를 이용해 결과가 로흐릴리히, 바츠알, 코르누트-바츠알 정리를 일반화한다.
• 근호가 −1일 경우 중심 L값은 영이 되지만, p진 L함수는 식별적으로 영이 되지 않으며, 이는 특정 반항성계 확장에서 유한한 모를라-바일 랭크를 의미한다.
• δ ≥ 2일 때, 루트 넘버가 −1이면 Iwasawa 환 O[[Ω^(n)]] 위에서 A(K_n D_∞) ⊗ Q_p/Z_p 의 세일머 군의 코랭크는 1이며, 루트 넘버가 +1이면 0이다.
• 최소 반항성계 지수 α₀의 존재는 p진 L함수의 모든 특수화가 차수 ≥ p^{α₀}인 캐릭터에 대해 영이 되지 않음을 보장하며, 이는 비영성 행동을 제어할 수 있게 한다.
• 아이와사와 주요 추측의 나눗셈을 통해 반항성계 Z_p^δ-확장 위에서 A의 모를라-바일 랭크는 추정되며, 비영성 L값과 모듈 이론적 추론을 통해 코랭크 공식이 도출된다.