[논문 리뷰] Rational points on certain hyperelliptic curves over finite fields

Maciej Ulas|ArXiv.org|2007. 06. 11.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 2인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 $ u^2 = \prod_{j=1}^k g_i(x_j) $ 형태로 정의된 초곡면에서 $ i=1,2 $에 대해 $ g_1(x) = x^n + ax + b $ 및 $ g_2(x) = x^n + ax^2 + bx $를 고려하며, $ ab \neq 0 $ 이다. 이러한 곡선과 워스타이네의 알고리즘을 이용해 유한체 위에서 초타원곡선 $ y^2 = g_i(x) $의 비자명한 유리점들을 결정론적으로 다항시간에 생성할 수 있다.

ABSTRACT

Let $K$ be a field, $a, b\in K$ and $ab eq 0$. Let us consider the polynomials $g_{1}(x)=x^n+ax+b, g_{2}(x)=x^n+ax^2+bx$, where $n$ is a fixed positive integer. In this paper we show that for each $k\geq 2$ the hypersurface given by the equation \begin{equation*} S_{k}^{i}: u^2=\prod_{j=1}^{k}g_{i}(x_{j}),\quad i=1, 2. \end{equation*} contains a rational curve. Using the above and Woestijne's recent results \cite{Woe} we show how one can construct a rational point different from the point at infinity on the curves $C_{i}:y^2=g_{i}(x), (i=1, 2)$ defined over a finite field, in polynomial time.

연구 동기 및 목표

• 초유계수 곡선에서 유한체 위의 유리점을 효율적으로 생성하는 문제를 해결하기 위해, 스코프형 알고리즘으로 군의 순서는 계산되지만 명시적인 점을 제공하지 않는 경우를 다루는 것.
• 이전의 타원곡선 연구를 고계수 초유계수 곡선 $ y^2 = x^n + ax + b $ 및 $ y^2 = x^n + ax^2 + bx $로 확장하는 것.
• 모든 $ k \geq 2 $에 대해 $ S_k^i: u^2 = \prod_{j=1}^k g_i(x_j) $ 초곡면에 유리곡선이 존재함을 입증하여 알고리즘적 점 생성을 가능하게 하는 것.
• 유리 매개변수화와 체론적 도구를 이용해, $ C_i: y^2 = g_i(x) $의 비무한 유리점 하나를 결정론적 다항시간에 계산하는 방법을 제공하는 것.

제안 방법

• 유리 함수 $ X_1(t,u), X_2(t,u), X_3(t,u) $를 $ t, u $에 대해 비상수로 구성하여 $ u^2 = g_1(X_1)g_1(X_2)g_1(X_3) $를 만족시키며, $ S_3^1 $ 위에 유리곡선을 형성하는 것.
• 체 $ \mathbb{F}_q^* $가 순환임을 이용하고, 워스타이네의 결정론적 $ n $-승근 추출 알고리즘을 적용하여 $ \mathbb{F}_q $ 내에서의 $ n $-승근을 효율적으로 계산하는 것.
• 매개변수화를 활용하여 충분히 큰 $ q $에 대해, 적어도 하나의 $ g_1(X_j(t,u)) $ 가 $ \mathbb{F}_q $ 내에서 제곱잔여수임을 보여, $ C_1 $ 위의 유리점을 얻는 것.
• 기존의 구성 방식을 $ g_2(x) = x^n + ax^2 + bx $로 확장하여, 모든 $ k \geq 2 $에 대해 $ S_k^2 $ 위에 동일한 유리곡선 존재를 보이는 것.
• 초곡면 위의 유리곡선 이론을 적용하여, $ C_i $ 위의 유리점 찾기 문제를 $ \mathbb{F}_q $ 위의 유리방정식의 연립방정식으로 환원하는 것.
• 매개변수화에서 분모 $ D(t,u) $ 의 구조를 이용해 특이점의 수를 유계화하고, $ \mathbb{F}_q \times \mathbb{F}_q $ 내에서 유효한 $ (t,u) $ 쌍의 존재를 보장하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 $ k \geq 2 $에 대해, $ g_i(x) = x^n + ax + b $ 또는 $ g_i(x) = x^n + ax^2 + bx $, $ ab \neq 0 $ 인 경우, 초곡면 $ S_k^i: u^2 = \prod_{j=1}^k g_i(x_j) $ 에는 유리곡선이 존재하는가?
• RQ2 유한체 $ \mathbb{F}_q $ 위에서 곡선의 방정식만 주어졌을 때, $ C_i: y^2 = g_i(x) $ 의 비자명한 유리점이 다항시간에 계산될 수 있는가?
• RQ3 비제곱 원소나 확률적 제곱근 추출이 필요 없이, $ C_i $ 위의 유리점을 결정론적이고 효율적으로 계산할 수 있는 알고리즘이 존재하는가?
• RQ4 고정된 다항식 $ g \in \mathbb{Z}[x] $ 에 대해, $ S_k: u^2 = \prod_{j=1}^k g(x_j) $ 가 $ u \neq 0 $ 인 무한히 많은 유리점을 포함하는 $ k \geq 2 $ 가 존재하는가?
• RQ5 다항식 $ g $ 과 $ k $ 에 어떤 조건이면 초곡면 $ S_k $ 이 $ \mathbb{C} $ 위에서 유리곡선을 가질 수 있으며, 이는 수체 위에서의 유리점의 조밀도를 암시하는가?

주요 결과

• 모든 $ k \geq 2 $ 에 대해, $ g_1(x) = x^n + ax + b $, $ ab \neq 0 $ 인 초곡면 $ S_k^1: u^2 = \prod_{j=1}^k g_1(x_j) $ 는 충분히 큰 $ q $ 에 대해 $ \mathbb{F}_q $ 위에 정의된 유리곡선을 포함한다.
• 구성에 의해, 분모 $ D(t,u) \neq 0 $ 인 유효한 매개변수 쌍 $ (t,u) \in \mathbb{F}_q \times \mathbb{F}_q $ 는 최소 $ (q - n)(q - 2(n-1) + 1) $ 개 존재하며, 이는 유리함수가 정의됨을 보장한다.
• $ q > 2(n-1) - 1 $ 인 경우, $ \{1,2,3\} $ 내의 적어도 하나의 $ j $ 에 대해 $ g_1(X_j(t,u)) $ 가 $ \mathbb{F}_q $ 내에서 제곱잔여수임을 보여, 명시적 제곱근 추출이 가능하다.
• 워스타이네의 결정론적 $ n $-승근 알고리즘을 적용하여, 유리곡선 매개변수화로부터 $ C_1: y^2 = g_1(x) $ 위의 유리점을 다항시간에 계산할 수 있다.
• 동일한 결과는 $ g_2(x) = x^n + ax^2 + bx $ 에 대해서도 성립하며, $ S_k^2 $ 가 모든 $ k \geq 2 $ 에 대해 유리곡선을 포함함을 보여, $ C_2 $ 위의 점 생성을 다항시간에 가능하게 한다.
• $ \Phi: T \to C $ 이며 $ \Phi(t,u) = (X_j(t,u), \sqrt{g_1(X_j(t,u))}) $ 로 정의된 사상은 $ \mathbb{F}_q \times \mathbb{F}_q $ 의 큰 부분집합 $ T \subset $ 에서 잘 정의되어 있으며, 전성 가능성의 가능성을 시사한다.