[논문 리뷰] Reachability Analysis Using Dissipation Inequalities For Uncertain Nonlinear Systems

He Yin, Andrew Packard외 2명|arXiv (Cornell University)|2018. 08. 07.

Stability and Control of Uncertain Systems참고 문헌 43인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 다항식 동역학을 갖는 불확실한 비선형 시스템을 대상으로, 적분 평방 제약 조건(IQC)을 포함하는 소산 부등식을 만족하는 시간에 따라 변하는 저장 함수를 활용하여 도달 가능성 분석 방법을 제안한다. 이 방법은 $\mathcal{L}_{2}$ 외란, 시간에 따라 변하는 매개변수, 그리고 모델링되지 않은 동역학을 고려하여 유한 시간 영역 내 도달 가능한 집합의 날카운 외부 유계를 SOS 최적화를 통해 매우 날카롭게 제공하며, 보장된 강건성과 전역 수렴성을 확보한 최초의 IQC 적용 사례이다.

ABSTRACT

We propose a method to outer bound forward reachable sets on finite horizons for uncertain nonlinear systems with polynomial dynamics. This method makes use of time-dependent polynomial storage functions that satisfy appropriate dissipation inequalities that account for time-varying uncertain parameters, L2 disturbances, and perturbations characterized by integral quadratic constraints (IQCs) with both hard and soft factorizations. In fact, to our knowledge, this is the first result introducing IQCs to reachability analysis, thus allowing for various types of uncertainty, including unmodeled dynamics. The generalized S-procedure and Sum-of-Squares techniques are used to derive algorithms with the goal of finding the tightest outer bound with a desired shape. Both pedagogical and practically motivated examples are presented, including a 7-state F-18 aircraft model.

연구 동기 및 목표

• 시간에 따라 변하는 매개변수, $\mathcal{L}_{2}$ 외란, 그리고 모델링되지 않은 동역학을 포함한 다수의 불확실성 원인을 고려한 유한 시간 영역 내 도달 가능성 분석 프레임워크를 개발하는 것.
• 도달 가능성 분석을 다항식 시스템을 초월하여 적분 평방 제약 조건(IQC)을 통합함으로써, 딱딱한 비선형성, 시간 지연, 그리고 모델링되지 않은 동역학을 모델링할 수 있도록 확장하는 것.
• 초기 저장 함수 설정이 필요 없이, 합의의 제곱(SOS) 프로그래밍과 일반화된 S-절차를 활용하여 도달 가능한 집합의 가능한 한 날카로운 외부 유계를 계산하는 것.
• 편의성과 전역 수렴성을 확보한, 비선형 최적화를 통한 계산 효율성이 뛰어난 방법을 제공함으로써 기존 반복적 접근 방식보다 더 낮은 보수성과 더 높은 계산 효율성을 확보하는 것.

제안 방법

• 시간에 따라 변하는 다항식 저장 함수를 사용하며, 이는 $\mathcal{L}_{2}$ 외란, 시간에 따라 변하는 불확실한 매개변수, 그리고 IQC로 특성화된 편차 $\Delta$ 를 고려하는 局소 소산 부등식을 만족한다.
• 일반화된 S-절차와 합의의 제곱(SOS) 기법을 활용하여 도달 가능한 집합 계산 문제를 비볼록 최적화 문제로 재구성한다.
• 이 프레임워크는 딱딱한 및 부드러운 IQC 분해를 모두 포함하며, 부드러운 IQC는 [6]에서 유도된 하한을 통해 유한 시간 영역 내 유효성을 보장한다.
• 최적화 문제는 이분법을 통해 해결되며, 저장 함수에 대한 탐색 가능한 초기 추측값이 필요 없이 전역 수렴성을 확보한다.
• 이 방법은 딱딱한 및 부드러운 IQC 분해를 모두 지원하여, 모델링되지 않은 동역학과 비선형성을 포함한 시스템의 강건한 분석을 가능하게 한다.
• 수치 계산의 신뢰성을 확보하기 위해, SOS 해를 검증하기 위한 후처리 검증 단계를 적용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 적분 평방 제약 조건(IQC)은 다항식 동역학을 갖는 불확실한 비선형 시스템의 도달 가능성 분석에 효과적으로 통합될 수 있는가?
• RQ2 다양한 불확실성 원인, 특히 $\mathcal{L}_{2}$ 외란과 시간에 따라 변하는 매개변수를 고려할 때, 유한 시간 영역 내 도달 가능한 집합을 얼마나 날카롭게 외부로 유계화할 수 있는가?
• RQ3 제안된 방법은 기존 반복적 접근 방식인 $V,s$ 반복 방법보다 더 낮은 보수성을 달성할 수 있는가?
• RQ4 IQC는 도달 가능성 분석에서 포화, 시간 지연 등과 같은 비선형성과 모델링되지 않은 동역학을 어느 정도 정확하게 모델링할 수 있는가?
• RQ5 SOS와 소산 부등식을 활용하여, 초기화가 필요 없는 전역 수렴 최적화 프레임워크를 도달 가능한 집합 계산에 대해 어떻게 구성할 수 있는가?

주요 결과

• F-18 모델의 경우 $T=0.4$ 초에서 외부 유계의 스케일링 요소 $\alpha^*$ 가 1.36로 도출되었으며, 이는 시뮬레이션 점들을 포함하는 최소 부피 타원체의 반지름보다 1.166배 큰 외부 유계임을 의미한다.
• $V,s$ 반복 방법과 비교하여, 제안된 비볼록 최적화 접근 방식은 유사한 계산 시간(~3.7k 초 대비 ~5.2k 초) 내에서 $\alpha^*$ 값을 19.4% 더 낮춘 1.36로 도출하였다.
• 이 방법은 낙엽 모드 조건 하에서 7차원 F-18 항공기 모델의 도달 가능한 집합을 성공적으로 외부로 유계화하였으며, 계산된 타원형 외부 유계가 시뮬레이션 트레이젝터리의 날카로운 포함을 보였다.
• 이 프레임워크는 도달 가능성 분석에 IQC를 통합한 최초의 사례로서, 포화, 시간 지연 등과 같은 비선형성과 모델링되지 않은 동역학에 대한 강건성을 확보하였다.
• 최적화 과정은 전역 수렴성을 보이며, 저장 함수의 초기화가 필요 없어 신뢰성과 계산 효율성이 향상되었다.
• 후처리 검증을 통한 검증을 통해, SOS 기반 해의 정확성과 날카로움이 확인되었다.