[논문 리뷰] Reachability in Controlled Markovian Quantum Systems

Frederik vom Ende|arXiv (Cornell University)|2020. 09. 01.

Advanced Thermodynamics and Statistical Mechanics참고 문헌 199인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 제어된 마르코프 성질을 가진 양자 시스템에서의 도달 가능성에 대한 연산자 이론적 기초를 수립하며, 스위치 가능한 린드블라드 유형의 노이즈를 갖는 이차형 제어를 통해 초기 상태에 의해 지배되는 모든 양자 상태를 근사적으로 도달할 수 있음을 증명한다. 핵심 기여는 유한 차원에서의 지배 이론을 무한 차원으로 확장하여, 일반적인 유니탈 동역학 하에서 지배되는 모든 상태의 근사적 도달 가능성은 입증한다.

ABSTRACT

In quantum systems theory one of the fundamental problems boils down to: Given an initial state, which final states can be reached by the dynamic system in question? Formulated in the framework of bilinear control systems, the evolution shall be governed by an inevitable Hamiltonian drift term, finitely many control Hamiltonians allowing for (at least) piecewise constant control amplitudes, plus a (possibly bang-bang switchable) noise term in Kossakowski-Lindblad form. Now assuming switchable coupling of finite-dimensional systems to a thermal bath of arbitrary temperature, the core problem of reachability boils down to studying points in the standard simplex amenable to two types of controls that can be used interleaved: Permutations within the simplex, and contractions by a dissipative one-parameter semigroup. We illustrate how the solutions of the core problem pertain to the reachable set of the original controlled Markovian quantum system. This allows us to show that for global as well as local switchable coupling to a temperature-zero bath one can generate every quantum state from every initial state up to arbitrary precision. Moreover we present an inclusion for non-zero temperatures as a consequence of our results on d-majorization. Then we consider infinite-dimensional open quantum-dynamical systems following a unital Kossakowski-Lindblad master equation extended by controls. Here the drift Hamiltonian can be arbitrary, the finitely many control Hamiltonians are bounded, and the switchable noise term is generated by a single compact normal operator. Via new majorization results of ours, we show that such bilinear quantum control systems allow to approximately reach any target state majorized by the initial one, as up to now only has been known in finite-dimensional analogues.

연구 동기 및 목표

• 이차형 동역학과 스위치 가능한 노이즈를 갖는 제어된 마르코프 성질을 가진 양자 시스템에서 주어진 초기 상태로부터 도달 가능한 양자 상태를 규명하는 것.
• 유한 차원에서의 지배 이론을 무한 차원 양자 시스템으로 확장하여, 특히 유니탈 개방 양자 동역학의 맥락에서 적용하는 것.
• 초기 상태에 의해 지배되는 상태의 집합이 무한 차원에서 트레이스 노름에 대해 닫혀 있음을 입증하여, 근사화에 대한 도달 가능성의 강건성을 확보하는 것.
• d-지배 다면체의 구조를 분석하고, 순열 및 수축 제어 하에서 도달 가능한 상태를 특성화하는 데서의 역할을 규명하는 것.
• 엄밀히 양의 선형 사상이 열린 볼록 세미군이 되며, 이는 양의 성질을 유지하는 동역학의 안정성에 기여하는 것.

제안 방법

• 무한 차원 힐버트 공간에서의 지배 이론에 대한 새로운 결과를 도출하여, 주어진 초기 상태에 의해 지배되는 상태의 집합이 트레이스 노름에 대해 닫혀 있음을 증명한다.
• 유한 차원 벡터에 대한 d-지배 이론을 분석하여, d-지배 다면체가 최대 n!개의 극점을 갖는 볼록 집합임을 보인다.
• 순열 대칭성과 수축 세미군(코사코프스키-린드블라드 생성자로부터 유도됨)을 융합한 기하학적 프레임워크를 도입하여 제어 행동을 모델링한다.
• 열역학적 열역학적 저장소에 스위치 가능한 결합을 갖는 개방 양자 시스템에 이론을 적용하여, 제어를 순서어린 순열과 소산적 진동으로 간주한다.
• 무한 차원 동역학을 분석하기 위해 유니터리 확장 기법과 샤텐-클래스 연산자에 대한 트레이스 부등식을 사용한다.
• 힐레-요시다 정리와 스펙트럼 이론을 적용하여 세미군의 생성자를 특성화하고, 동역학의 잘 정의됨을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 스위치 가능한 린드블라드 생성자를 갖는 무한 차원 유니탈 개방 양자 시스템에서, 초기 상태에 의해 지배되는 모든 양자 상태를 근사적으로 도달할 수 있는가?
• RQ2 표준 단체 내에서 순서어린 순열 및 수축 제어를 통해 도달 가능한 상태의 집합의 구조는 어떠한가?
• RQ3 유한 차원의 제어된 양자 시스템의 간단한 모델에서 d-지배는 도달 가능한 집합을 어떻게 제약하는가?
• RQ4 엄밀히 양의 선형 사상의 집합은 유계 연산자의 위상에서 닫혀 있고 열려 있는가? 이는 제어의 강건성에 어떤 의미를 갖는가?
• RQ5 제어된 마르코프 성질을 가진 양자 시스템의 도달 가능한 집합이 초기 상태의 지배 다면체에 밀도를 이루기 위한 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 어떤 주어진 초기 상태에 의해 지배되는 모든 양자 상태의 집합은 무한 차원 힐버트 공간에서도 트레이스 노름에 대해 닫혀 있다.
• R^n 내의 임의의 초기 벡터에 대해 d-지배 다면체는 최대 n!개의 극점이 있는 볼록 집합이며, 초기 벡터가 비음수이면 한 극점이 나머지 모든 극점을 고전적으로 지배한다.
• 온도가 0인 열역학적 저장소에 대한 전역적 또는 국소적 스위치 가능한 결합이 있을 경우, 순열과 수축 세미군의 상호작용로 인해 어떤 초기 상태로부터도 모든 양자 상태를 근사적으로 생성할 수 있다.
• 온도가 0이 아닌 열역학적 저장소의 경우, d-지배를 사용하여 도달 가능한 상태의 포함 관계를 유도하며, 이는 도달 가능한 집합에 대한 정량적 한계를 제공한다.
• 유계 제어 해밀토니안과 단일 컴팩트 정규 연산자가 스위치 가능한 노이즈를 생성하는 무한 차원 유니탈 개방 양자 시스템에서, 초기 상태에 의해 지배되는 임의의 목표 상태는 근사적으로 도달 가능하다.
• 엄밀히 양의 선형 사상의 집합은 연산자 위상에서 열린 볼록 세미군을 이룬다. 이는 제어 동역학의 미세한 변형에 대해 양의 성질이 유지됨을 보장하여 안정성을 확보한다.