[논문 리뷰] Real rank and property (SP) for direct limits of recursive subhomogeneous algebras

N. Christopher Phillips|ArXiv.org|2004. 05. 14.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 23인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 차원 성장이 없는 재귀적 부분호몰로지 대수의 단위 원소를 가진 단순한 직접 극한이 실수 계수가 0이거나 성질 (SP)을 가질 조건을 정확히 규명한다. 실수 계수가 0임이 성립하는 것은 $K_0(A)$의 $ \mathrm{Aff}(T(A))$로의 상이 밀도를 이룬다는 것과 동치이며, 성질 (SP)이 성립하는 것은 모든 $ \varepsilon > 0$에 대해 $ \eta \in K_0(A)$가 존재하여 모든 추적 상태 $ \tau$에 대해 $0 < \tau_*(\eta) < \varepsilon$를 만족한다는 것과 동치이다. 이러한 조건들은 반례를 통해 더 약한 대안들이 성립하지 않음을 보여, 정확함을 입증한다.

ABSTRACT

Let A be a unital simple direct limit of recursive subhomogeneous C*-algebras with no dimension growth. We give criteria which specify exactly when A has real rank zero, and exactly when A has the Property (SP): every nonzero hereditary subalgebra of A contains a nonzero projection. Specifically, A has real rank zero if and only if the natural map from K_0 (A) to the continuous affine functions on the tracial state space has dense range, A has the Property (SP) if and only if the range of this map contains strictly positive functions with arbitrarily small norm. By comparison with results for unital simple direct limit of homogeneous C*-algebras with no dimension growth, one might hope that weaker conditions might suffice. We give examples to show that several plausible weaker conditions do not suffice for the results above. If A has real rank zero and at most countably many extreme tracial states, we apply results of H. Lin to show that A has tracial rank zero and is classifiable.

연구 동기 및 목표

• 차원 성장이 없는 재귀적 부분호몰로지 대수의 단위 원소를 가진 단순한 직접 극한이 실수 계수가 0이 되는 정확한 조건을 규명하는 것.
• 이러한 대수들이 성질 (SP)을 만족하는 조건을 특성화하는 것, 즉 모든 영이 아닌 히라르키 서브대수는 영이 아닌 프로젝션을 포함한다.
• 실수 계수가 0이나 성질 (SP)을 확보하기 위해 충분하지 않은 더 약한 조건들—예를 들어 프로젝션들이 추적 상태를 구별하거나 $\tau_*(K_0(A))$가 $\mathbf{R}$에 밀도를 이룬다는 것—이 충분하지 않음을 보여주는 것.
• 프로젝션들이 추적 상태를 구별하는 것, $K_0(A)$가 리에츠 군임, 그리고 성질 (SP)을 만족하는 조건의 세 부분 조합이 실수 계수가 0이 되기 위한 필요충분조건임을 보여주는 것.
• 실수 계수가 0이면서 최대 가чёт수의 극단적 추적 상태를 가질 경우, 에일리엇 불변량을 분석하고 이러한 대수들을 분류하는 것.

제안 방법

• $K_0(A) \to \mathrm{Aff}(T(A))$의 표준 사상으로 $\mathrm{Aff}(T(A))$에서의 상의 밀도를 실수 계수가 0의 기준으로 분석하는 것.
• $K_0$-군이 $\mathbf{Z}[1/2]^3$와 동형이며 특정한 양의 원소들 및 순서 단위를 가진 반례를 구성하여 조건의 필수성을 시험하는 것.
• 정리 5.3을 적용하여 $K_0$-군과 추적 상태 공간 $\Delta$가 지정된 $C^*$-대수 $A_0$를 구축한 후, $2^\infty$ UHF 대수와의 텐서 곱을 통해 $A = A_0 \otimes B$를 얻는 것.
• $[0,1]^2$에서의 애프린 호메오모르피즘을 통해 상태 공간 $S(K_0(A))$를 계산하여, 이것이 단체가 아니므로 $K_0(A)$가 리에츠 군이 아님을 보이는 것.
• 린과 엘리엇의 결과를 활용하여 실수 계수가 0이면서 최대 가чёт수의 극단적 추적 상태를 가질 경우 추적 계수가 0임을 유도하고 분류 가능함을 밝히는 것.
• 풀백 구조와 재귀적 부분호몰로지 대수의 구조를 활용하여 히라르키 서브대수와 추적 행동을 분석하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 차원 성장이 없는 재귀적 부분호몰로지 대수의 단위 원소를 가진 단순한 직접 극한이 실수 계수가 0이 되기 위한 $K_0$-이론적 및 추적 조건은 무엇인가?
• RQ2 대수 $A$의 프로젝션들이 추적 상태를 구별한다는 조건이 이 클래스에서 실수 계수가 0이 되는 데 충분한가?
• RQ3 모든 $\tau$에 대해 $\tau_*(K_0(A))$가 $\mathbf{R}$에 밀도를 이룬다는 조건이 성질 (SP)을 암시할 수 있는가?
• RQ4 이 맥락에서 실수 계수가 0, 성질 (SP), 그리고 $K_0(A)$가 리에츠 군임 사이의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ5 실수 계수가 0이 되기 위해 프로젝션들이 추적 상태를 구별하는 것, $K_0(A)$가 리에츠 군임, 그리고 성질 (SP)을 만족하는 조건을 조합한 필요충분조건이 존재하는가?

주요 결과

• 실수 계수가 0임이 성립하는 것은 $K_0(A)$의 $\mathrm{Aff}(T(A))$로의 상이 밀도를 이룬다는 것과 동치이다.
• 성질 (SP)이 성립하는 것은 모든 $\varepsilon > 0$에 대해 $\eta \in K_0(A)$가 존재하여 모든 추적 상태 $\tau$에 대해 $0 < \tau_*(\eta) < \varepsilon$를 만족한다는 것과 동치이다.
• 반례를 통해 모든 $\tau$에 대해 $\tau_*(K_0(A))$가 $\mathbf{R}$에 밀도를 이룬다는 조건이 성질 (SP)을 암시하지는 않음을 보여, 비록 필수 조건임은 맞다.
• 반례를 통해 프로젝션들이 추적 상태를 구별한다는 조건이 $K_0(A)$가 리에츠 군임과 함께 조합되어도 실수 계수가 0이 되는 데 충분하지 않음을 보여준다.
• 프로젝션들이 추적 상태를 구별하는 것, $K_0(A)$가 리에츠 군임, 그리고 $A$가 성질 (SP)을 만족한다는 세 부분 조건은 실수 계수가 0이 되기 위한 필요충분조건이며, 각 조건은 독립적으로 필수적이다.
• 대수 $A$가 실수 계수가 0이면서 최대 가чёт수의 극단적 추적 상태를 가질 경우, $A$는 추적 계수가 0이며 에일리엇 불변량을 통해 분류 가능하다.