[논문 리뷰] Real zeros of Hurwitz-Lerch zeta and Hurwitz-Lerch type of Euler-Zagier double zeta functions

Takashi Nakamura|arXiv (Cornell University)|2014. 05. 07.

Advanced Mathematical Identities참고 문헌 18인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 $0 < \sigma < 1$ 이면서 $a \geq 1/2$ 이고 $z = 1$ 인 경우, Hurwitz-Lerch 제타 함수 $\Phi(\sigma, a, z)$ 가 실수 영점을 가지지 않음을 증명한다. 또한 $z \neq 1$ 이고 $0 < a \leq 1$ 인 경우, $0 < \sigma < 1$ 전역에서 영점이 존재하지 않음을 보이며, $z_1$ 및 $z_2$ 에 대한 다양한 조건 하에서 Euler-Zagier 이중 제타 함수 유형인 Hurwitz-Lerch의 성질을 분석하기 위해 적분 표현과 복소해석 기법을 사용하여 임계대에서의 부호 및 허수부 행동을 분석한다.

ABSTRACT

Let $0 &lt; a \le 1$, $s,z \in {\mathbb{C}}$ and $0 &lt; |z|\le 1$. Then the Hurwitz-Lerch zeta function is defined by $Φ(s,a,z) := \sum_{n=0}^\infty z^n(n+a)^{-s}$ when $σ:=\Re (s) &gt;1$. In this paper, we show that the Hurwitz zeta function $ζ(σ,a) := Φ(σ,a,1)$ does not vanish for all $0

연구 동기 및 목표

• 임계대 $0 < \sigma < 1$ 에서 Hurwitz-Lerch 제타 함수 $\Phi(\sigma, a, z)$ 가 실수 영점을 가지지 않는 조건을 규명하는 것.
• 이러한 영점이 없는 성질을 Hurwitz-Lerch 형식의 Euler-Zagier 이중 제타 함수 $\Phi_2(s_1, s_2, a, z_1, z_2)$ 로 확장하는 것.
• 특히 $a \geq 1/2$ 인 경우 $\Phi(\sigma, a, 1)$ 의 영점이 없는 행동에서 매개변수 $a$ 의 역할을 명확히 하는 것.
• 적분 표현과 복소해석 기법을 활용하여 이중 제타 함수의 해석적 구조와 긍정/부정 부호 행동을 분석하는 것.

제안 방법

• 수렴 분석을 위해 감마 함수를 포함하는 적분 표현을 사용하여 $\Gamma(s_1)\Gamma(s_2)\Phi_2(s_1, s_2, a, z_1, z_2)$ 를 표현하는 것.
• 임계대에서 반복 적분의 수렴성과 긍정/부정 부호 분석을 정당화하기 위해 Fubini 정리를 적용하는 것.
• 적분의 실수부 및 허수부를 분석하여 $z_1$ 및 $z_2$ 의 매개변수에 따른 영점이 없는 행동를 결정하는 것.
• 복소 지수 분해와 삼각함수 항등식을 활용하여 커널의 실수 및 허수 성분의 긍정/부정 부호를 연구하는 것.
• 중간값 정리를 $\zeta_2(\sigma, \sigma; a)$ 에 적용하여 긍정/부정 변화의 존재를 증명하고, 그로 인해 영점이 없는 행동를 입증하는 것.
• Komori의 연구에서 알려진 해석적 계속성 결과를 활용하여 초기 수렴 영역을 초월한 결과를 확장하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Hurwitz 제타 함수 $\zeta(\sigma, a)$ 가 $0 < \sigma < 1$ 에서 실수 영점을 가지지 않기 위한 $a \in (0,1]$ 의 값은 무엇인가?
• RQ2 만약 $z \neq 1$ 이고 $0 < a \leq 1$ 이면, Hurwitz-Lerch 제타 함수 $\Phi(\sigma, a, z)$ 가 $0 < \sigma < 1$ 전역에서 영점이 없는가?
• RQ3 이중 제타 함수 $\Phi_2(s_1, s_2, a, z_1, z_2)$ 가 $\Re(s_1), \Re(s_2) \in (0,1)$ 에서 실수 영점을 가지지 않기 위한 $z_1$ 및 $z_2$ 에 대한 조건은 무엇인가?
• RQ4 임계대 내에서 비실수인 $z_1, z_2$ 에 대해 $\Phi_2(s_1, s_2, a, z_1, z_2)$ 의 실수부의 부호를 결정할 수 있는가?
• RQ5 만약 $z_1$ 및 $z_2$ 가 비실수이고 $\sin(2\pi\theta_1)\sin(2\pi\theta_2) > 0$ 이면, $\Im(\Phi_2(s_1, s_2, a, z_1, z_2))$ 는 $\sigma_1 > 0$, $\sigma_2 > 0$ 전역에서 영이 아닌가?

주요 결과

• Hurwitz 제타 함수 $\zeta(\sigma, a)$ 는 $0 < \sigma < 1$ 에서 실수 영점을 가지지 않으며, 이는 $a \geq 1/2$ 인 것과 동치이다.
• 만약 $z \neq 1$ 이면, Hurwitz-Lerch 제타 함수 $\Phi(\sigma, a, z)$ 는 $0 < \sigma < 1$ 이며 $0 < a \leq 1$ 인 모든 경우에 영점이 없다.
• 만약 $z_1 = 1$ 이고 $z_2 \neq 1$ 이면, $\Phi_2(\sigma_1, \sigma_2, a, 1, z_2)$ 는 $\sigma_1 > 0$, $\sigma_2 > 0$ 전역에서 영점이 없으며, $z_2 \in [-1,1)$ 이면 실수부가 양수이다.
• 만약 $z_1$ 및 $z_2$ 가 모두 비실수이고 $\sin(2\pi\theta_1)\sin(2\pi\theta_2) > 0$ 이면, $\Im(\Phi_2(\sigma_1, \sigma_2, a, z_1, z_2)) \neq 0$ 이며, $\sigma_1 > 0$, $\sigma_2 > 0$ 전역에서 성립한다.
• 만약 $\sin(2\pi\theta_1)\sin(2\pi\theta_2) < 0$ 이면, $\Phi_2(\sigma_1, \sigma_2, a, z_1, z_2)$ 의 실수부는 $\sigma_1 > 0$, $\sigma_2 > 0$ 전역에서 엄격히 양수이다.
• 이중 제타 함수 $\zeta_2(\sigma, \sigma; a)$ 는 $\lim_{\sigma \to 1^-} \zeta_2(\sigma, \sigma; a) = \infty$ 이고 $\lim_{\sigma \to 1/2^+} \zeta_2(\sigma, \sigma; a) = -\infty$ 를 만족하므로, $1/2 < \sigma < 1$ 에서 긍정/부정 변화가 발생하고, 따라서 영점이 없는 행동를 보인다.