[논문 리뷰] Reality of linear and angular momentum expectation values in bound states

Utpal Roy, Suranjana Ghosh외 2명|ArXiv.org|2007. 04. 03.

Experimental and Theoretical Physics Studies참고 문헌 6인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 양자 밀도 상태에서 선운동량과 각운동량 기대값의 실재성을 조사하며, 선운동량 기대값이 보조 상태 파동함수의 대칭성과 운동량 연산자의 에르미트성으로 인해 항상 0임을 입증한다. 구면 극좌표계에서의 운동량 연산자 올바른 형태를 유도하여, 데카르트 좌표계에서의 단순 일반화가 자코비안 인자로 인해 실패함을 보이며, 에르히프스트의 정리가 곡선 좌표계에서 재구성되어야 함을 확인한다. 이는 히드로젠 원자에서 히젠베르크의 운동 방정식을 통해 확인된다.

ABSTRACT

In quantum mechanics textbooks the momentum operator is defined in the Cartesian coordinates and rarely the form of the momentum operator in spherical polar coordinates is discussed. Consequently one always generalizes the Cartesian prescription to other coordinates and falls in a trap. In this work we introduce the difficulties one faces when the question of the momentum operator in spherical polar coordinate comes. We have tried to point out most of the elementary quantum mechanical results, related to the momentum operator, which has coordinate dependence. We explicitly calculate the momentum expectation values in various bound states and show that the expectation value really turns out to be zero, a consequence of the fact that the momentum expectation value is real. We comment briefly on the status of the angular variables in quantum mechanics and the problems related in interpreting them as dynamical variables. At the end, we calculate the Heisenberg's equation of motion for the radial component of the momentum for the Hydrogen atom.

연구 동기 및 목표

• 교재에서 흔히 잘못 적용되는 데카르트 좌표계의 형태를 단순히 일반화하여 구면 극좌표계에서의 운동량 연산자 형태를 명확히 하기 위해.
• 유한한 상태에서 선운동량 기대값이 항상 0임을 엄밀하게 입증하기 위해, 이는 종종 유도 없이 암시적으로 언급된다.
• 특히 곡선 좌표계에서, 각 변수가 양자역학에서 운동 변수로 간주될 수 있는지의 기본 문제를 다루기 위해.
• 구면좌표계에서의 구면운동량에 대해 에르히프스트의 정리를 재구성하여, 뉴턴역학과의 일관성을 보여주기 위해, 히드로젠 원자에서 검증된다.
• 곡선좌표변환에서 자코비안의 역할과 그가 연산자 정의 및 기대값에 미치는 영향을 부각시키기 위해.

제안 방법

• 기대값의 실수성과 에르미트성 보장을 위해, 구면극좌표계에서의 운동량 연산자를 유도한다.
• 운동량 연산자의 좌표 공간 표현을 사용하고, 다양한 잠재력(무한우물, 조화진동자, 쿨롱, 머스)의 유한한 상태 파동함수에 적용한다.
• 비정질 잠재력(쿨롱 잠재력)에서 기대값을 평가하기 위해 특수함수 이론(연관 라게르르 다항식 및 레지앙드르 다항식)을 적용한다.
• 히드로젠 원자에서의 구면운동량 연산자에 대해 히젠베르크의 운동 방정식을 적용하여, 시간에 따른 변화를 유도한다.
• 수소원자에서 1/r² 및 1/r³의 기대값을 수소원자 파동함수를 사용하여 평가하여, 구면운동량 기대값의 시간도함수가 0이 됨을 검증한다.
• 유도된 구면좌표계에서의 에르히프스트의 정리와 표준 데카르트 좌표계 버전을 비교하여, 후자가 곡선 좌표계에서 실패함을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 왜 데카르트 좌표계에서의 운동량 연산자 형태를 단순히 구면좌표계로 일반화하면 양자역학에서 잘못된 결과가 도출되는가?
• RQ2 기대값의 실수성을 보장하기 위해, 구면극좌표계에서의 운동량 연산자를 어떻게 일관되게 정의할 수 있는가?
• RQ3 왜 모든 유한한 상태에서 선운동량 기대값이 항상 0이며, 쿨롱 잠재력과 머스 잠재력과 같은 비정질 잠재력에 대해서도 이를 엄밀하게 증명할 수 있는가?
• RQ4 기대값의 시간 변화를 정확히 기술하기 위해, 에르히프스트의 정리는 곡선좌표계에서 어떻게 수정되어야 하는가?
• RQ5 특히 밀도나 주기적인 시스템에서, 각도와 같은 압축된 변수들이 양자역학에서 운동 변수로 간주될 수 있는지에 대한 함의는 무엇인가?

주요 결과

• 모든 유한한 상태에서 선운동량 연산자의 기대값은 정확히 0이며, 이는 운동량 연산자의 에르미트성과 파동함수의 대칭성의 결과이다.
• 구면극좌표계에서의 운동량 연산자는 데카르트 좌표계에서의 일반화를 단순히 적용할 수 없으며, 자코비안에 의존하는 항들이 포함되어 있어 연산자 구조를 변화시킨다.
• 히드로젠 원자에서의 구면운동량 연산자는 뉴턴의 제2법칙과 형식적으로 유사한 히젠베르크 운동 방정식을 만족하며, 정확한 1/r³ 및 1/r² 잠재력 항이 포함된다.
• 적절한 곡선좌표계에서의 에르히프스트의 정리를 사용할 경우, 히드로젠 원자에서의 구면운동량 연산자 기대값의 시간도함수는 0이 되며, 이는 고전적 안정성과 일치한다.
• 표준 데카르트 좌표계에서의 에르히프스트의 정리는 구면좌표계에서 실패한다; 유일하게 올바르게 변환된 형태만이 정확한 역학을 도출한다.
• 각도와 같은 압축된 변수의 경우, 해당 변수가 주기적이어야만 공액운동량(각운동량)이 0이 아니며, 否면 반드시 0이 되어야 하므로, 각도 관측량을 정의할 때의 근본적인 문제를 드러낸다.