[논문 리뷰] Reconstruction theorem for quantum stochastic processes

V. P. Belavkin|ArXiv.org|2005. 12. 17.

Quantum Mechanics and Applications참고 문헌 2인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 인과적으로 순서가 매겨진 상관핵자들로 구성된 자기일관된 가족이 강한 의미에서 최소이며 단위적으로 동치인 양자 확률과정(QSP)을 유일하게 결정함을 증명함으로써, 양자 확률과정(QSP)에 대한 복원 정리를 수립한다. 이 틀은 콜모고로프의 고전적 복원과 루이스의 비인과적 접근을 일반화하여, 개방된 양자 시스템과 장에 대해 인과성과 공변성을 갖는 구조 아래에서 비상대성 이론적이고 비가역적인 역학을 통합한다.

ABSTRACT

Statistically interpretable axioms are formulated that define a quantum stochastic process (QSP) as a causally ordered operator field in an arbitrary space-time region T of an open quantum system under a sequential observation at a discrete space-time localization. It is shown that to every QSP described in the weak sense by a self-consistent system of causally ordered correlation kernels there corresponds a unique, up to unitary equivalence, minimal QSP in the strong sense. It is shown that the proposed QSP construction, which reduces in the case of the linearly ordered discrete T=Z to the construction of the inductive limit of Lindblad's canonical representations, corresponds to Kolmogorov's classical reconstruction if the order on T is ignored and leads to Lewis construction if one uses the system of all (not only causal) correlation kernels, regarding this system as lexicographically preordered on T. The approach presented encompasses both nonrelativistic and relativistic irreversible dynamics of open quantum systems and fields satisfying the conditions of local commutativity and semigroup covariance. Also given are necessary and sufficient conditions of dynamicity (or conditional Markovianity) and regularity, these leading to the properties of complete mixing (relaxation) and ergodicity of the QSP.

연구 동기 및 목표

• 개방된 양자 시스템에서 인과적으로 순서가 매겨진 장으로서의 양자 확률과정(QSP)에 대해 물리적으로 해석 가능한 실시간 정의를 제공하기 위해.
• 자기일관된 인과적 상관핵자 체계로부터 최소이며 단위동치인 QSP를 복원하는 보편적인 방법을 수립하기 위해.
• 반단순성과 국소적 교환성을 바탕으로 한 단일 틀 안에서 비상대성 이론적이고 비가역적인 역학을 통합하기 위해.
• QSP에서 동역성(조건부 마르코프성), 정규성, 완전 혼합성, 에르고딕성에 필요한 필수 및 충분조건을 유도하기 위해.
• 인과성이 무시되거나 대칭적으로 가정될 경우 고전적 확률과정이 특수한 경우로 나타남을 보여주기 위해.

제안 방법

• 임의의 시공간 영역 $T$에서 인과적으로 순서가 매겨진 상관핵자들이 일관성과 공변성 조건을 만족하도록 QSP의 공리를 수립하기 위해.
• 만일 $T = \mathbb{Z}$일 경우, 리드블라드형 표준 표현의 귀납적 극한을 통해 QSP의 최소이며 단위동치 표현을 구성하기 위해.
• 연산자 값 분포로부터 과정을 실현하기 위해 GNS 유사 힐베르트 공간 $\mathcal{H} = L^2_{\mathcal{K}}(\mathcal{B}_T)$ 기반의 보편적 구성법을 사용하기 위해.
• $\sigma$-표현 $\pi_T: \mathcal{B}_T \to \mathcal{P}(\mathcal{H})$를 정의하여 $\mu_T(B) = \mathrm{P} \pi_T(B) \mathrm{P}$가 되도록 하여, 양성과 정규화를 보장하기 위해.
• 궤적 공간 $\mathrm{E}_T = \prod_{t \in T} \mathrm{E}_t$ 위에서 연산자 값 분포 $\mu^\Lambda$를 $\sigma$-加성에 의해 $\sigma$-측도 $\rho_T$로 확장함으로써 과정을 복원하기 위해.
• $\mathbb{Z} \times T$ 위에 사전순서를 적용하여 비인과적 상관함수를 인과적 틀에 공식적으로 통합하고, 루이스의 구성법을 복원하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 자기일관된 인과적으로 순서가 매겨진 상관핵자 체계로부터 양자 확률과정(QSP)을 어떻게 복원할 수 있는가?
• RQ2 이러한 핵자들에 대응하는 최소 QSP의 존재성과 유일성(단위동치를 제외한)을 보장하는 조건는 무엇인가?
• RQ3 인과성이 무시될 경우, 제안된 틀이 고전적 확률과정(예: 콜모고로프의 정리에 의해)을 어떻게 복원하는가?
• RQ4 제안된 QSP 구성법과 모든 상관함수를 사용한 루이스의 비인과적 복원법 사이의 관계는 무엇인가?
• RQ5 QSP가 동역성, 완전 혼합성 또는 에르고딕성을 나타내는 조건는 무엇인가?

주요 결과

• 자기일관된 인과적 상관핵자 가족은 $T = \mathbb{Z}$인 이산 시간에 대해 리드블라드의 표준 표현을 일반화하여, 단위동치를 제외한 최소 QSP를 유일하게 결정한다.
• 복원 과정은 비가역적 내적 동역학의 단위 표현을 포함하여, 비상대성 이론적이고 상대성 이론적 개방 양자 시스템과 장을 모두 포함한다.
• 인과성이 무시될 경우, 이 구성법은 콜모고로프의 고전적 복원으로 줄어들며, 표준 확률과정을 복원한다.
• $\mathbb{Z} \times T$ 위의 사전순서를 사용하여, 비인과적 상관함수를 인과적 틀에 공식적으로 통합함으로써, 루이스의 구성법을 복원한다.
• 원점에서의 정규성 조건과 함께 준대칭성 조건이 결합되면, 완전 혼합성과 에르고딕성이 유도되며, 이는 고전적 시스템의 $K$-혼합성와 유사하다.
• 동역성 조건 (4.9)는 정규화 조건 $\pi_l(\mathrm{E}_l) = \mathrm{I}$를 약화시켜, 하미르토니안이 아니며 조건부 마르코프적이고 비가역적인 완화 과정을 허용한다.