[论文解读] Reduction of twisted generalized Kähler structure

Yi Lin, Susan Tolman|ArXiv.org|Oct 1, 2005

Geometry and complex manifolds参考文献 7被引用 12

一句话总结

本文通过引入扭曲的广义 момента映射和 момента 1-形式，将广义 Kähler 降低理论推广至扭曲情形，实现了在自由群作用下对 $H$-扭曲广义 Kähler 结构的降低。关键结果是商空间继承了一个定义良好的 $\widetilde{H}$-扭曲广义 Kähler 结构，且类型不变量根据稳定化子和丛几何被保持或调整。

ABSTRACT

We show that our earlier work in \cite{LT05} extends to the twisted case, that is, we defined a notion of moment map and reduction in both twisted generalized complex geometry and twisted generalized Kähler geometry.

研究动机与目标

• 将 Lin 和 Tolman [LT05] 的降低框架推广至扭曲广义复与 Kähler 几何。
• 定义与 $H$-扭曲 Courant 括号相容的扭曲广义 момента映射和 момента 1-形式。
• 建立在自由群作用下，扭曲广义 Kähler 流形的商空间继承一个定义良好的 $\widetilde{H}$-扭曲广义 Kähler 结构。
• 阐明类型不变量在降低过程中的行为，特别是与稳定化子子群和特征丛几何的关系。

提出的方法

• 利用等变上同调和 Cartan 模型，将 [LT05] 中的 момента 映射形式化推广至 $H$-扭曲情形。
• 定义扭曲广义 момента映射 $f: M \to \mathfrak{g}^*$ 和 момента 1-形式 $\alpha \in \Omega^1(M, \mathfrak{g}^*)$，使得 $H + \alpha$ 是等变闭的。
• 利用 $f^{-1}(\mathcal{O}_a)$ 上的联络 $\theta$ 构造广义复结构的 $\Gamma$-变换，将扭曲从 $H$ 移至 $H - d\Gamma$，从而诱导出商结构。
• 应用 $B$-变换不变性原理，证明商空间上得到的扭曲广义复结构在选择联络时至多相差一个 $B$-变换，从而保证几何一致性。
• 利用主 $G$-丛 $f^{-1}(\mathcal{O}_a) \to M_a$ 上的典范联络，定义商空间上的诱导 $\widetilde{H}$-扭曲。
• 证明商空间每一点处广义复结构的类型由原始类型以及 $\sqrt{-1}$-特征丛与水平分布交集的维数决定。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将 [LT05] 中广义 Kähler 降低过程推广至 $H$-扭曲广义 Kähler 结构的情形？
• RQ2 момента 映射和 момента 1-形式需满足何种条件，才能确保存在定义良好的扭曲广义 Kähler 商空间？
• RQ3 商空间上的扭曲形式 $\widetilde{H}$ 与原始扭曲 $H$ 以及群作用的几何之间有何关系？
• RQ4 在扭曲情形下，广义复结构的类型不变量在降低过程中的行为如何？
• RQ5 即使原始流形是未扭曲的，是否仍可能产生非平凡的扭曲商空间？若可能，其条件是什么？

主要发现

• 商空间 $M_a = f^{-1}(\mathcal{O}_a)/G$ 继承了一个 $\widetilde{H}$-扭曲广义 Kähler 结构 $ (\widetilde{\mathcal{J}}_1, \widetilde{\mathcal{J}}_2) $，其中 $\widetilde{H}$ 由典范联络和等变闭形式 $H + \alpha$ 导出。
• 在每一点 $[m]$ 处，$\widetilde{\mathcal{J}}_1$ 的类型等于 $m$ 处 $\mathcal{J}_1$ 的类型，表明复结构类型在降低过程中被保持。
• $\widetilde{\mathcal{J}}_2$ 的类型减少量为 $\frac{1}{2}\dim G + \frac{1}{2}\dim K - 2\dim(\mathfrak{h}_M \cap \pi(L_2))_m$，反映了稳定化子和丛几何的影响。
• 即使 $H = 0$，若 момента 1-形式 $\alpha$ 非平凡，商空间仍可能继承非平凡的扭曲 $\widetilde{H} \neq 0$，表明扭曲可由降低过程产生。
• 商空间上得到的扭曲广义 Kähler 结构在选择联络时至多相差一个 $B$-变换，确保了几何一致性。
• 该构造推广了 [LT05] 中的先前结果，并为 Kapustin 和 Li 所建议的扭曲广义 Kähler 几何降低提供了框架。