[论文解读] Topological sigma-models with H-flux and twisted generalized complex manifolds

Anton Kapustin, Yi Li|ArXiv.org|Jul 28, 2004

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 12被引用 60

一句话总结

本文确立了在具有 H-通量的 N=2 sigma 模型中，拓扑 A 和 B-模型由扭曲广义复几何控制，表明可观测量源自与某一扭曲广义复结构相关的李代数丛的上同调。关键结果是关联函数仅依赖于其中一种结构，从而为非凯勒背景下的镜像对称提供了几何框架。

ABSTRACT

We study the topological sector of N=2 sigma-models with H-flux. It has been known for a long time that the target-space geometry of these theories is not Kahler and can be described in terms of a pair of complex structures, which do not commute, in general, and are parallel with respect to two different connections with torsion. Recently an alternative description of this geometry was found, which involves a pair of commuting twisted generalized complex structures on the target space. In this paper we define and study the analogues of A and B-models for N=2 sigma-models with H-flux and show that the results are naturally expressed in the language of twisted generalized complex geometry. For example, the space of topological observables is given by the cohomology of a Lie algebroid associated to one of the two twisted generalized complex structures. We determine the topological scalar product, which endows the algebra of observables with the structure of a Frobenius algebra. We also discuss mirror symmetry for twisted generalized Calabi-Yau manifolds.

研究动机与目标

• 将 N=2 sigma 模型中拓扑 A 和 B-模型的几何描述扩展到非零 H-通量的情形。
• 证明拓扑可观测量空间和拓扑度量仅依赖于目标流形上两个对易的扭曲广义复结构中的一个。
• 为扭曲广义卡拉比-丘流形提出镜像对称的表述，即使在缺乏非零 H-通量的紧致例子时亦成立。
• 利用李代数丛上同调，为可观测量上的弗罗贝尼乌斯代数结构提供几何实现。
• 建立扭曲广义复结构的形变与弗罗贝尼乌斯流形之间的对应关系，从而将镜像对称推广至凯勒几何之外。

提出的方法

• 作者使用直和丛 $ T M \oplus T^* M $ 上的扭曲多尔曼括号来定义扭曲广义复结构（TGC-结构），这些结构在 H-通量下推广了复结构和辛结构。
• 他们证明，具有 H-通量的 N=2 sigma 模型的目标空间几何由一对对易的 TGC-结构编码，这些结构源自左右移动的复结构 $ I_\pm $ 和含 torsion 的联络。
• 拓扑可观测量空间被识别为与两个 TGC-结构之一相关的李代数丛的上同调，从而为可观测量代数提供了几何实现。
• 通过 H-扭曲微分 $ d_H $ 构造拓扑标量积，使可观测量代数具备弗罗贝尼乌斯代数结构。
• 作者证明，扭曲广义几乎复结构的可积性等价于分解 $ d_H = \partial_H + \bar{\partial}_H $，从而将代数条件与几何条件联系起来。
• 镜像对称被提议为镜像流形 $ M $ 和 $ M' $ 上 TGC-结构形变所关联的弗罗贝尼乌斯流形之间的同构。

实验结果

研究问题

• RQ1 当目标空间非凯勒时，如何几何地描述具有 H-通量的 N=2 sigma 模型中的 A 和 B-模型？
• RQ2 扭曲广义复结构在编码这些模型的拓扑可观测量和标量积中起什么作用？
• RQ3 能否利用扭曲广义复几何将镜像对称推广至非凯勒、H-通量背景？
• RQ4 可观测量的弗罗贝尼乌斯代数结构与扭曲广义复结构的形变之间有何关系？
• RQ5 非紧致扭曲广义卡拉比-丘流形在非零 H-通量下不存在，这对镜像对称构造有何影响？

主要发现

• A-和 B-模型中的拓扑可观测量空间同构于目标流形上一对对易的扭曲广义复结构之一所关联的李代数丛的上同调。
• 可观测量代数上的拓扑标量积由流形上的积分给出，使上同调具备弗罗贝尼乌斯代数结构。
• 与 $ M $ 上一个扭曲广义复结构形变相关的弗罗贝尼乌斯流形，同构于与镜像流形 $ M' $ 上另一个结构形变相关的弗罗贝尼乌斯流形，从而推广了镜像对称。
• 扭曲广义几乎复结构的可积性等价于分解 $ d_H = \partial_H + \bar{\partial}_H $，这对定义可观测量代数的上同调至关重要。
• 本文表明，A-模型关联函数仅依赖于一个 TGC-结构中编码的辛型数据，而 B-模型关联函数仅依赖于另一个结构中编码的复型数据，从而确认了预期的对偶性。
• 尽管缺乏非零 H-通量的紧致扭曲广义卡拉比-丘流形的例子，该框架仍允许在非凯勒背景下一致地表述镜像对称。