[论文解读] Refined invariants of finite-dimensional Jacobi algebras

Ben Davison|arXiv (Cornell University)|Mar 2, 2019

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 37被引用 9

一句话总结

本文通過有限維約化代數（特別是收縮代數）的上同調唐納森-托馬斯理論，引入三繫中翻轉曲線的精化Gopakumar–Vafa不變量。證明這些不變量為Verdier自對偶、集中於零度，其維數恢復經典Gopakumar–Vafa不變量，且其在單調混合Hodge結構的Grothendieck環中的動機類為有效類，從而確認正性並支持分類化有理性猜想。

ABSTRACT

We define and study refined Gopakumar-Vafa invariants of contractible curves in complex algebraic 3-folds, alongside the cohomological Donaldson--Thomas theory of finite-dimensional Jacobi algebras. These Gopakumar-Vafa invariants can be constructed one of two ways: as cohomological BPS invariants of contraction algebras controlling the deformation theory of these curves, as defined by Donovan and Wemyss, or by feeding the moduli spaces that Katz used to define genus zero Gopakumar-Vafa invariants into the machinery developed by Joyce et al. The conjecture that the two definitions give isomorphic results is a special case of a kind of categorified version of the strong rationality conjecture due to Pandharipande and Thomas, that we discuss and propose a means of proving. We prove the positivity of the cohomological/refined BPS invariants of all finite-dimensional Jacobi algebras. This result supports this strengthening of the strong rationality conjecture, as well as the conjecture of Brown and Wemyss stating that all finite-dimensional Jacobi algebras for appropriate symmetric quivers are isomorphic to contraction algebras.

研究动机与目标

• 透過有限維約化代數的上同調DT理論，定義三繫中可收縮曲線的精化Gopakumar–Vafa不變量。
• 透過收縮代數的BPS上同調，建立強有理性猜想的分類化版本。
• 證明所有有限維約化代數的上同調BPS不變量均為有效類。
• 支持Brown–Wemyss猜想，即所有對稱quiver的有限維約化代數均同構於收縮代數。

提出的方法

• 將上同調分次Gopakumar–Vafa不變量定義為收縮代數的BPS上同調，取值於單調混合Hodge結構的範疇。
• 利用消失循環上同調與交集上同調的機制，從收縮代數表示的模空間構造不變量。
• 應用動機積分與Plethystic指數，將動機DT不變量與Grothendieck環中單調混合Hodge結構的BPS不變量關聯。
• 利用代數幾何對像環中的剪裁與拼接關係，分析Grassmannian商的極限，並建立動機不變量的收斂性。
• 利用GLγ-主叢在Zariski拓撲下局部平凡的性質，在代數幾何對像環中導出恆等式，以計算動機積分。
• 證明動機BPS不變量在J映射下的像等於上同調BPS不變量，從而確認其在Grothendieck環中的有效性。

实验结果

研究问题

• RQ1 透過消失循環定義的有限維約化代數的上同調BPS不變量，在取維數後是否恢復經典Gopakumar–Vafa不變量？
• RQ2 是否存在一個分類化版本的強有理性猜想，將動機DT不變量與Grothendieck環中單調混合Hodge結構的BPS上同調關聯起來？
• RQ3 有限維約化代數的BPS不變量是否始終為有效類，即是否由真實的單調混合Hodge結構表示而非複形？
• RQ4 能否完全透過收縮代數定義的上同調不變量，計算高長度翻轉曲線的精化DT理論？
• RQ5 J映射是否將動機BPS不變量映射至Grothendieck環中單調混合Hodge結構的上同調BPS不變量？

主要发现

• 上同調Gopakumar–Vafa不變量GV_{C,r,0}集中於上同調度零，且為Verdier自對偶。
• GV_{C,r,0}的維數等於經典Gopakumar–Vafa不變量n_{C,r}，因此這些不變量實現了數值不變量的分類化。
• 單調混合Hodge結構的Grothendieck環中，[GV_{C,r,0}]的類為有效類，從而確認不變量的正性。
• 當l(C) = 1時，r > 1時精化不變量為零，與已知的Atiyah翻轉與Reid的pagoda結果一致。
• 動機BPS不變量Ω_{Q,W,γ}在J映射下的像等於上同調BPS不變量[BPS_{Q,W,γ}]，確立了動機與上同調DT理論之間的關鍵聯繫。
• 有效性證明依賴於透過Grassmannian逼近的動機積分收斂性，以及GLγ-叢在Grothendieck環中的特殊性。