[论文解读] Gopakumar-Vafa invariants and wall-crossing

Yukinobu Toda|arXiv (Cornell University)|Oct 5, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 28被引用 10

一句话总结

本文通过在具有任意全纯欧拉示性数和稳定性条件的扭曲半稳定层模空间上构造消失上同调的奇异层，将卡拉比-丘3-流形上的格帕库马尔-梵达（GV）不变量进行推广。证明了所得不变量与稳定性条件及欧拉示性数均无关，并建立了GV不变量的 flop变换公式，支持了GV不变量在不同模空间间具有普遍定义的猜想。

ABSTRACT

In this paper, we generalize a mathematical definition of Gopakumar-Vafa (GV) invariants on Calabi-Yau 3-folds introduced by Maulik and the author, using an analogue of BPS sheaves introduced by Davison-Meinhardt on the coarse moduli spaces of one dimensional twisted semistable sheaves with arbitrary holomorphic Euler characteristics. We show that our generalized GV invariants are independent of twisted stability conditions, and conjecture that they are also independent of holomorphic Euler characteristics, so that they define the same GV invariants. As an application, we will show the flop transformation formula of GV invariants.

研究动机与目标

• 将格帕库马尔-梵达（GV）不变量的数学定义从标准模空间 $M(\beta,1)$ 扩展至包含任意全纯欧拉示性数 $m$ 和稳定性条件 $\sigma=B+i\omega$ 的情形。
• 在具有稳定性条件 $\sigma$ 的 $\sigma$-半稳定层的粗模空间 $M_\sigma(\beta,m)$ 上构造一个消失上同调的奇异层，推广戴维森-梅因哈特的BPS层构造。
• 证明所得GV不变量与稳定性条件 $\sigma$ 和全纯欧拉示性数 $m$ 的选择无关，从而提出GV不变量的普遍定义。
• 利用墙穿跃下的不变性，建立GV不变量的flop变换公式，确认其在双有理变换下的相容性。

提出的方法

• 在具有陈特征 $v=(\beta,m)$ 的 $\sigma$-半稳定层的模堆栈 $\mathcal{M}_\sigma(v)$ 上构造一个 $d$-临界结构，从而使得可以定义消失上同调的奇异层。
• 将奇异层 $\phi_{M_\sigma(v)}$ 定义为从堆栈 $\mathcal{M}_\sigma(v)$ 到粗模空间 $M_\sigma(v)$ 的消失上同调层的推前的首个奇异上同调。
• 通过在循环 $\gamma \in \mathop{\rm Chow}\nolimits_X(\beta)$ 上限制的推前层的 $sl_2 \times sl_2$-作用的特征公式，引入不变量 $\Phi_\sigma(\gamma,m) \in \mathbb{Z}[y^{\pm 1}]$。
• 利用CY方向数据和导出达布定理，确保奇异层构造在不同稳定性条件下的良好定义性与不变性。
• 对于形如 $X = \mathrm{Tot}_S(K_S)$ 的卡拉比-丘3-流形，利用模堆栈上CY方向数据的存在性，无条件地证明 $\Phi_\sigma(\gamma,m)$ 关于 $\sigma$ 和 $m$ 的独立性。
• 建立flop变换公式 $\Phi_X(\gamma,m) = \Phi_{X^\dagger}(h^*\gamma,m)$，证明其在沿点的爆破下的不变性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否基于具有任意全纯欧拉示性数 $m$ 和稳定性条件 $\sigma$ 的扭曲半稳定层模空间来定义格帕库马尔-梵达不变量？
• RQ2 推广后的GV不变量 $\Phi_\sigma(\gamma,m)$ 是否与稳定性条件 $\sigma$ 和示性数 $m$ 的选择无关？
• RQ3 推广后的GV不变量在卡拉比-丘3-流形的双有理变换下是否满足flop变换公式？
• RQ4 戴维森-梅因哈特的BPS层构造能否推广至具有任意 $m$ 和 $\sigma$ 的卡拉比-丘3-流形上的层？
• RQ5 是否存在一个统一的GV不变量的普遍定义，能够涵盖所有不同模空间上的此类构造？

主要发现

• 对于形如 $X = \mathrm{Tot}_S(K_S)$ 的卡拉比-丘3-流形，推广后的GV不变量 $\Phi_\sigma(\gamma,m)$ 与稳定性条件 $\sigma$ 无关，从而可定义一个规范不变量 $\Phi_X(\gamma,m)$。
• 当循环 $\gamma$ 为本原时，$\Phi_X(\gamma,m)$ 同样与全纯欧拉示性数 $m$ 无关，提示GV不变量存在一个普遍定义。
• 对于通过曲面爆破的总空间构造得到的卡拉比-丘3-流形，flop变换公式 $\Phi_X(\gamma,m) = \Phi_{X^\dagger}(h^*\gamma,m)$ 成立，表明其在flop变换下的不变性。
• 将奇异层 $\phi_{M_\sigma(v)}$ 构造为从堆栈 $\mathcal{M}_\sigma(v)$ 推前的消失上同调层，为 [MT18] 中基于 $M(\beta,1)$ 的定义提供了稳健的推广。
• 通过特征公式 $\int_{\gamma} \Phi_{\sigma=i\omega}(\gamma,1)\, de = \sum_g n_{g,\beta} (y^{1/2} + y^{-1/2})^{2g}$，该不变量可恢复原始的GV不变量 $n_{g,\beta}$，从而确认其一致性。
• 对于 $X = \mathrm{Tot}_S(K_S)$，$\Phi_\sigma(\gamma,m)$ 关于 $\sigma$ 和 $m$ 的独立性已无条件得证，无需假设猜想2.10。