[논문 리뷰] Refinement for Signal Flow Graphs

Brendan Fong|arXiv (Cornell University)|2016. 09. 17.

Petri Nets in System Modeling참고 문헌 90인용 수 48

한 줄 요약

이 논문은 신호 흐름도, 전기 회로, 마르코프 과정과 같은 네트워크 스타일의 다이어그램 언어를 초그래프 범주, 장식된 코스팬, 코레레이션을 사용하여 범주론적 프레임워크를 제안한다. 모든 초그래프 범주는 장식된 코레레이션을 통해 구성 가능하다는 것을 입증하여 개방형 시스템에 대한 구성적 의미론을 가능하게 하며, 선형 시간 불변 시스템과 수동 선형 네트워크에 이 이론을 적용하여, 함의함(functors)을 통해 구조가 유지됨을 보여준다.

ABSTRACT

Herein we develop category-theoretic tools for understanding network-style diagrammatic languages. The archetypal network-style diagrammatic language is that of electric circuits; other examples include signal flow graphs, Markov processes, automata, Petri nets, chemical reaction networks, and so on. The key feature is that the language is comprised of a number of components with multiple (input/output) terminals, each possibly labelled with some type, that may then be connected together along these terminals to form a larger network. The components form hyperedges between labelled vertices, and so a diagram in this language forms a hypergraph. We formalise the compositional structure by introducing the notion of a hypergraph category. Network-style diagrammatic languages and their semantics thus form hypergraph categories, and semantic interpretation gives a hypergraph functor. The first part of this thesis develops the theory of hypergraph categories. In particular, we introduce the tools of decorated cospans and corelations. Decorated cospans allow straightforward construction of hypergraph categories from diagrammatic languages: the inputs, outputs, and their composition are modelled by the cospans, while the 'decorations' specify the components themselves. Not all hypergraph categories can be constructed, however, through decorated cospans. Decorated corelations are a more powerful version that permits construction of all hypergraph categories and hypergraph functors. These are often useful for constructing the semantic categories of diagrammatic languages and functors from diagrams to the semantics. To illustrate these principles, the second part of this thesis details applications to linear time-invariant dynamical systems and passive linear networks.

연구 동기 및 목표

• 신호 흐름도, 전기 회로 등 네트워크 스타일의 다이어그램 언어를 범주론을 사용하여 형식화하기.
• 상호연결을 초그래프 범주로 모델링하여 개방형 시스템에 대한 일반적인 구성적 의미론을 개발하기.
• 모든 초그래프 범주와 함의함을 생성하는 유니버설 구성 방법으로 장식된 코레레이션을 도입하기.
• 선형 시간 불변 시스템과 수동 선형 네트워크에 이 프레임워크를 적용하여, 함의함을 통한 함의화(black-boxing)를 보여주기.
• 마르코프 과정과 전기 회로와 같은 다양한 시스템을 동일한 구성적 구조 아래 통합하기.

제안 방법

• 컴ponent들이 입력과 출력을 통해 연결되는 방식으로, 네트워크 다이어그램의 구성적 구조를 초그래프 범주로 모델링하기.
• 코스팬이 인터페이스를 모델링하고 장식이 컴포넌트 유형을 지정하도록, 다이어그램 언어로부터 초그래프 범주를 구성하기 위해 장식된 코스팬을 도입하기.
• 모든 초그래프 범주와 함의함을 포괄하는 더 강력한 구성 방법으로 장식된 코레레이션을 개발하여, 개방형 시스템의 함의화를 가능하게 하기.
• 코레레이션을 사용해 입력-출력 관계를 표현하는 방식으로, 개방형 시스템에서 그 행동으로 가는 초그래프 함의함을 정의하기.
• 선형 시스템의 경우 행동을 k[s, s⁻¹] 위의 모듈로 모델링하고, 수동 네트워크의 경우 딜레르흐 형식과 라그랑주 관계를 사용하기.
• 사라짐이 없는 단순화된 표현을 얻기 위해 인파이-스플릿 모노(епи-сплит мономорфизм)의 분해 체계를 사용하여, 효율적인 시스템 추상화를 위한 유계 코한계(bound colimit) 개념을 도출하기.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 네트워크 스타일의 다이어그램 언어는 어떻게 범주론을 사용하여 형식화할 수 있는가?
• RQ2 다이어그램 언어로부터 모든 초그래프 범주와 함의함을 생성하는 유니버설 구성 방법은 무엇인가?
• RQ3 개방형 시스템(예: 회로, 마르코프 과정)의 의미론은 함의함을 통해 어떻게 구성적으로 포괄할 수 있는가?
• RQ4 선형 시스템의 함의화에 대한 범주론적 구조는 무엇이며, 어떻게 구성성을 유지하는가?
• RQ5 수동 네트워크의 최소 전력 원리가 일반화될 수 있으며, 라그랑주 관계와 심플렉틱 구조와 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• 모든 초그래프 범주는 장식된 코레레이션 범주로 구성 가능하며, 이는 장식된 코레레이션이 유니버설 구성 방법임을 입증한다.
• 개방형 수동 선형 네트워크에서 라그랑주 관계로 가는 함의함은 초그래프 함의함이며, 구성성과 구조를 유지한다.
• 선형 시간 불변 시스템의 범주는 초그래프 범주로 표현되며, 행동은 k[s, s⁻¹] 위의 모듈로 모델링된다.
• 균형 잡힌 마르코프 과정의 행동은 최소 소산을 특징으로 하며, 그 의미론은 라그랑주 관계로 가는 함의함을 통해 인수화된다.
• 유계 코한계 구성은 병합의 공동으로 에피크한 부분을 추출하여 개방형 시스템의 최소 표현을 제공하며, 함의화를 일반화한다.
• 개방형 마르코프 과정을 모델링하는 함의함과 개방형 전기 회로를 모델링하는 함의함 사이에 자연 변환(natural transformation)이 존재하여, 두 시스템 간 깊은 구조적 유사성을 보여준다.