[논문 리뷰] Reinhardt cardinals and non-definability

Farmer Schlutzenberg|arXiv (Cornell University)|2020. 02. 04.

Advanced Topology and Set Theory인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 ZF와 ZF₂에서 초등적 임베딩의 정의 불가능성을 조사하며, Reinhardt 기수들이 $ V \neq \mathrm{HOD}(X) $를 암시하고, $ \Sigma_1 $-초등적 임베딩 $ j:V_\delta \to V_\delta $가 파라미터로부터 정의 가능하지 않음을 보이며, 조건이 만족될 경우 반복(iterates)이 완전히 초등적임에도 불구하고 이를 정의할 수 없음을 보인다. 이 논문은 $ V_{\delta+1} $로의 임베딩에 대해 강력한 정의 불가능성 결과를 수립하며, 강제 확장에서는 전이적 내부 모델로의 새로운 초등적 임베딩을 추가할 수 없음을 보인다.

ABSTRACT

Work in $\mathsf{ZF}$ or $\mathsf{ZF}_2$ (second order $\mathsf{ZF}$), as appropriate. Recall that a Reinhardt cardinal is the critical point of a (non-trivial) elementary embedding $j:V ightarrow V$. Beyond these, one has super-Reinhardt, total Reinhardt and Berkeley cardinals. We prove the following results. Let $X$ be a set and $A$ a class. Then (i) if there is a Reinhardt cardinal then $V eq\mathrm{HOD}(X)$, and (ii) if $V$ is total Reinhardt or there is a Berkeley cardinal then $V eq\mathrm{HOD}_A(X)$. Let $\delta$ be a limit ordinal and $j:V_\delta o V_\delta$ be $\Sigma_1$-elementary. Then (i) $j$ is not definable from parameters over $V_\delta$, and (ii) there is $n<\omega$ such that the $n^{\mathrm{th}}$ iterate $j^n=j(j(\ldots (j))):V_\delta o V_\delta$ is fully elementary; in fact, $j^n:(V_\delta,A) o(V_\delta,j^n(A))$ is fully elementary for all $A\subseteq V_\delta$. Let $\delta$ be any ordinal and $j:V_{\delta+1} o V_{\delta+1}$ be fully elementary. Then $j$ is not definable over $V_{\delta+1}$ from parameters in $V_\delta$. Suppose $V=L(V_\delta)$ and $\mathrm{cof}(\delta)>\omega$. Then there is no $\Sigma_1$-elementary $j:V_\delta o V_\delta$. Let $G$ be $(V,\mathbb{P})$-generic for some $\mathbb{P}\in V$. Then (i) if $V[G]$ has a super-Reinhardt cardinal, then $V$ has a super-Reinhardt cardinal; (ii) if $\mathbb{P}\in V_\delta$ and $V[G]\models$``$V_\delta^{V[G]}$ is total Reinhardt'' then $V\models$``$V_\delta$ is total Reinhardt''; and (iii) if $V[G]$ has a set of ordinals which is not in $V$, then $V[G]$ has no elementary $j:V[G] o M\subseteq V$. We also develop the theory of ultrapowers by extenders under $\mathsf{ZF}$, and show that if there is a proper class of Lowenheim-Skolem cardinals, then being the critical point of an elementary $j:V o M$ (with $M$ transitive) is first-order.

연구 동기 및 목표

• Reinhardt 기수가 존재하면 어떤 집합 $ X $ 에 대해서도 $ V \neq \mathrm{HOD}(X) $ 임을 보여주며, 이러한 기수가 HOD 프레임워크 내에 포획될 수 없음을 입증하는 것.
• $ \Sigma_1 $-초등적 임베딩 $ j:V_\delta \to V_\delta $ 의 정의 가능성 문제를 조사하여, $ j $ 가 $ V_\delta $ 위에서 파라미터로부터 정의 가능하지 않음을 증명하는 것. 이는 $ j $ 가 초등적이지 않더라도 반복이 완전히 초등적이 되는 경우에도 마찬가지로 성립한다.
• 완전히 초등적 임베딩 $ j:V_{\delta+1} \to V_{\delta+1} $ 의 행동을 분석하여, $ V_{\delta+1} $ 위에서 $ V_\delta $ 의 파라미터로부터 정의 가능하지 않음을 보이는 것.
• 강제 확장 하에서의 대규모 기수 성질의 유지 문제를 분석하여, 초-Reinhardt 기수와 전체 Reinhardt 성질이 기저 모델에서 강제 확장으로 이행됨을 증명하는 것.
• ZF에서 연장자(extenders)를 통한 초등적 쌍대모델의 이론을 개발하며, L"owenheim-Skolem 기수가 정의된 집합의 전체성에 따라 전이적 클래스로의 초등적 임베딩의 임계점이 일阶 논리적으로 정의 가능함을 보이는 것.

제안 방법

• 초등적 임베딩 $ j:V \to V $ 의 분석을 위해 기초 체계로 ZF와 ZF₂(두 번째 순서 ZF)를 사용하며, 임계점과 그 정의 가능성에 초점을 맞춘다.
• 반복성 추론을 적용하여, $ \Sigma_1 $-초등적 $ j:V_\delta \to V_\delta $ 에 대해 어떤 반복 $ j^n $ 이 완전히 초등적이 되는 것을 보이며, $ j $ 가 직접적으로 정의 가능하지 않더라도 성립함을 보인다.
• 강제 확장 $ V[G] $ 를 $ \mathbb{P} \in V $ 를 만족하도록 사용하여, 특히 초-Reinhardt 및 전체 Reinhardt 기수의 대규모 기수 성질의 이행을 분석한다.
• 모델 이론적 추론을 통해 정의 불가능성을 확립한다: 만약 $ j $ 가 $ V_\delta $ 위에서 파라미터로부터 정의 가능했다면, 특정 임베딩의 정의 불가능성과 모순된다.
• ZF에서 연장자에 의한 초등적 쌍대모델 이론을 도입하고 발전시키며, $ V_{\delta+1} $ 위에서 $ V_\delta $ 의 파라미터로부터 정의 가능하지 않음을 보인다. 이는 L"owenheim-Skolem 기수가 정의된 집합의 전체성 조건 하에서 성립한다.
• $ V = L(V_\delta) $ 와 $ \mathrm{cof}(\delta) > \omega $ 를 가정하여, $ \Sigma_1 $-초등적 임베딩 $ j:V_\delta \to V_\delta $ 가 존재하지 않음을, 정의 가능성과 닫힘 조건의 모순을 통해 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 집합 $ X $ 에 대해 $ V = \mathrm{HOD}(X) $ 인 모델에서 Reinhardt 기수가 존재할 수 있는가? 이 논문은 이것이 불가능함을 보인다.
• RQ2 $ \Sigma_1 $-초등적 임베딩 $ j:V_\delta \to V_\delta $ 는 $ V_\delta $ 위에서 파라미터로부터 정의 가능한가? 이 논문은 그렇지 않음을 증명한다.
• RQ3 $ V_{\delta+1} \to V_{\delta+1} $ 로의 완전히 초등적 임베딩 $ j $ 는 $ V_{\delta+1} $ 위에서 $ V_\delta $ 의 파라미터로부터 정의 가능한가? 이 논문은 그렇지 않음을 보인다.
• RQ4 강제 확장 $ V[G] $ 에 초-Reinhardt 기수가 존재하면, 이는 기저 모델 $ V $ 에서도 존재하는가? 이 논문은 강제 절대성에 의해 이를 확인한다.
• RQ5 $ V \to M $ 로의 초등적 임베딩 $ j $ 의 임계점(여기서 $ M $ 은 전이적임)은 ZF에서 일阶 논리적으로 정의 가능한가? 이 논문은 L"owenheim-Skolem 기수가 정의된 집합의 전체성 조건 하에서 그러하다고 보여준다.

주요 결과

• Reinhardt 기수가 존재하면, 어떤 집합 $ X $ 에 대해서도 $ V \neq \mathrm{HOD}(X) $ 임을 보여주며, 이러한 기수가 HOD 프레임워크 외부에 있음을 입증한다.
• 모든 $ \delta $ 에 대해, $ j:V_\delta \to V_\delta $ 가 $ \Sigma_1 $-초등적이라면, $ j $ 는 $ V_\delta $ 위에서 파라미터로부터 정의 가능하지 않다. 이는 $ j $ 가 초등적이지 않더라도 어떤 반복 $ j^n $ 이 완전히 초등적이 되는 경우에도 마찬가지로 성립한다.
• 모든 $ \delta $ 에 대해, $ j:V_{\delta+1} \to V_{\delta+1} $ 가 완전히 초등적이라면, $ j $ 는 $ V_{\delta+1} $ 위에서 $ V_\delta $ 의 파라미터로부터 정의 가능하지 않다.
• $ V = L(V_\delta) $ 이고 $ \mathrm{cof}(\delta) > \omega $ 라면, 정의 가능성과 닫힘 조건의 제약으로 인해 $ \Sigma_1 $-초등적 임베딩 $ j:V_\delta \to V_\delta $ 는 존재하지 않는다.
• $ V[G] $ 가 초-Reinhardt 기수를 가진다면, $ V $ 도 초-Reinhardt 기수를 가짐을 보여주며, 이러한 기수들이 강제로 생성되지 않음을 입증한다.
• $ \mathbb{P} \in V_\delta $ 이고 $ V[G] \models \text{``}V_\delta^{V[G]} \text{ is total Reinhardt''} $ 라면, $ V \models \text{``}V_\delta \text{ is total Reinhardt''} $ 이다. 이는 강제 확장 하에서의 유지 성질을 보여준다.
• $ V[G] $ 가 $ V $ 에 속하지 않는 순서수의 집합을 가진다면, $ V[G] $ 는 $ V[G] \to M \subseteq V $ 로의 초등적 임베딩 $ j $ 를 가지지 않는다. 이는 새로운 임베딩에 대한 강력한 제약 조건을 보여준다.