[논문 리뷰] Relations between dynamical degrees, Weil's Riemann hypothesis and the standard conjectures

Tuyen Trung Truong|arXiv (Cornell University)|2016. 11. 03.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 8인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 대수적으로 닫힌 체 위의 매끄럽고 사영인 다양체의 자기 사상에 대해 l-진 cohomology에서의 광범위한 스펙트럴 반경($\chi(f)$)이 N\'eron-Severi 군에서의 광범위한 스펙트럴 반경($\lambda(f)$)과 같음을 증명하며, Weil의 Riemann 추측의 Deligne 증명을 사용하여 $\chi(f) = \lambda(f)$를 입증한다. 이는 Esnault과 Srinivas가 제기한 질문을 해결하며, 대수적 엔트로피 $\log \chi(f)$가 비틀림 불변량이자 에탈 불변량임을 보여준다.

ABSTRACT

Let $\mathbb{K}$ be an algebraically closed field, $X$ a smooth projective variety over $\mathbb{K}$ and $f:X ightarrow X$ a dominant regular morphism. Let $N^i(X)$ be the group of algebraic cycles modulo numerical equivalence. Let $χ(f)$ be the spectral radius of the pullback $f^*:H^*(X,\mathbb{Q}_l) ightarrow H^*(X,\mathbb{Q}_l)$ on $l$-adic cohomology groups, and $λ(f)$ the spectral radius of the pullback $f^*:N^*(X) ightarrow N^*(X)$. We prove in this paper, by using consequences of Deligne's proof of Weil's Riemann hypothesis, that $χ(f)=λ(f)$. This answers affirmatively a question posed by Esnault and Srinivas. Consequently, the algebraic entropy $\log χ(f)$ of an endomorphism is both a birational invariant and étale invariant. More general results are proven if either $\mathbb{K}=\overline{\mathbb{F}_p}$ or the Fundamental Conjecture D (numerical equivalence vs homological equivalence) holds. Among other results in the paper, we show that if some properties of dynamical degrees, known in the case $\mathbb{K}=\mathbb{C}$, hold in positive characteristics, then simple proofs of Weil's Riemann hypothesis follow.

연구 동기 및 목표

• 대수적으로 닫힌 체 위의 자기 사상에 대해 l-진 cohomology에서의 광범위한 스펙트럴 반경($\\chi(f)$)이 수치적 순환에서의 광범위한 스펙트럴 반경($\\lambda(f)$)과 같음을 증명하는 것.
• Esnault과 Srinivas가 제기한 $\\chi(f)$와 $\\lambda(f)$의 등가성에 관한 질문을 해결하는 것.
• 대수적 엔트로피 $\log \\chi(f)$가 비틀림 불변량이자 에탈 불변량임을 보여주는 것.
• 양의 특성수에서의 동역학적 차수 성질이 Weil의 Riemann 추측을 증명하는 데 미치는 영향을 탐구하는 것.

제안 방법

• Cohomological과 numerical 광범위한 스펙트럴 반경를 연결하기 위해 Deligne의 Weil Riemann 추측 증명을 기본 도구로 사용한다.
• 기본 추측 D(수치적 등가 = 호모로지적 등가)를 적용하여 특성 0에서의 결과를 양의 특성수로 확장한다.
• 유한 사상 $\pi: X \to Y$를 통해 다양체 $X$의 동역학과 사영 공간 $Y$의 동역학을 연결하기 위해 대응 구축 $f_n = (\\pi \times \\pi)^* \\Gamma_{g_n}$을 사용한다.
• 노름 추정과 교차 이론을 사용하여, $\| (f^n)^* |_{H^{2i}(X,\\mathbb{Q}_l)} \|$와 $\| g_n^* |_{H^{2i}(Y,\\mathbb{Q}_l)} \|$를 추론과 역추론을 통해 비교한다.
• $H^*(X,\\mathbb{Q}_l) = \pi^* H^*(Y,\\mathbb{Q}_l) \oplus \\ker(\\pi_*)$의 분해을 적용하여 기본 공간에서 온 코homological 기여를 분리한다.
• $\\mathbb{P}^k$의 코homology가 대수적 순환에 의해 생성된다는 사실을 활용하여 추정을 단순화하고 부등식을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 $i$에 대해 양의 특성수에서 $\\chi_i(f)$가 유한한가?
• RQ2 $\chi_{2i}(f) = \lambda_i(f)$는 모든 $i$에 대해 성립하는가?
• RQ3 상대적 동역학적 차수는 양의 특성수에서 곱의 공식을 만족하는가?
• RQ4 Dinh의 부등식 $\\chi_i(f)^2 \leq \max_{p+q=i} \\lambda_p(f)\\lambda_q(f)$는 성립하는가?
• RQ5 $\chi_{2i}(f)$는 양의 특성수에서 비틀림 불변량인가?

주요 결과

• l-진 cohomology에서의 광범위한 스펙트럴 반경은 수치적 순환에서의 광범위한 스펙트럴 반경과 같으며, $\\chi(f) = \lambda(f)$이다.
• 대수적 엔트로피 $\log \chi(f)$는 비틀림 불변량이자 에탈 불변량이다.
• $\\chi_i(f)$의 유한성은 Weil Riemann 추측과 기본 추측 D로부터 유도된다.
• 만약 $\\mathbb{C}$에서 알려진 동역학적 차수 성질이 양의 특성수에서도 성립한다면, Weil Riemann 추측에 대한 간단한 증명이 도출된다.
• 성분 $\|(f^n)^*|_{H^{2i}(X,\\mathbb{Q}_l)}\| \geq \|g_n^*|_{H^{2i}(Y,\\mathbb{Q}_l)}\|$는 일관된 상수를 고려하여 성립하며, 성장률을 비교하는 데 기여한다.
• X에서의 코homological 추론은 Y에서의 추론을 통과하며, $H^{2i}(X,\\mathbb{Q}_l)$의 노름은 $H^{2i}(Y,\\mathbb{Q}_l)$의 노름의 일정 배수로 아래에서 유계된다.