[논문 리뷰] Relations Between partial Metric Spaces and M-Metric Spaces, Caristi Kirk's Theorem in $M-$Metric Type Spaces

Kamaleldin Abodayeh, Nabil Mlaiki외 2명|arXiv (Cornell University)|2015. 12. 21.

Fixed Point Theorems Analysis참고 문헌 17인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 부분 거리 공간과 M-거리 공간 간의 관계를 규명하여, 모든 부분 거리 공간이 M-거리 공간임을 증명하지만, 그 역은 성립하지 않음을 보여준다. 이전 증명에 존재하던 결함을 수정하고 구체적인 예시를 제시함으로써, 완비 M-거리 공간에서 하향 연속 함수 조건 하에 고정점의 존재를 검증함으로써, Caristi-Kirk의 고정점 정리를 M-거리 공간으로 일반화한다.

ABSTRACT

Very recently, Mehadi et al [M. Asadi, E. Karapınar, and P. Salimi, New extension of partial metric spaces with some fixed-point results on $M-$metric spaces] extended the partial metric spaces to the notion of $M-$metric spaces. In this article, we study some relations between partial metric spaces and $M-$metric spaces. Also, we generalize Caristi Kirki's Theorem from partial metric spaces to $M-$metric spaces, where we corrected some gaps in the proof of the main Theorem in E. Karapınar [E. Karapınar, Generalizations of Caristi Kirk's Theorem on Partial Metric Spaces, Fixed Point Theory Appl. 2011: 4, (2011)]. We close our contribution by introducing some examples to validate and verify our extension results.

연구 동기 및 목표

• 부분 거리 공간과 M-거리 공간 간의 수학적 관계를 명확히 하여, 모든 부분 거리 공간이 M-거리 공간이지만 그 역은 성립하지 않음을 보이는 것.
• 이전 증명에서의 오류를 수정하여, Caristi-Kirk의 고정점 정리를 부분 거리 공간에서 M-거리 공간으로 확장하는 것.
• 하향 연속 실수 값 함수를 이용하여, 완비 M-거리 공간에서 자기사상이 고정점을 가질 수 있는 조건을 설정하는 것.
• 부분 거리 공간이 아닌 M-거리 공간의 구체적 예시를 제시하여 이론적 일반화를 검증하는 것.
• 특정 M-거리가 유도하는 위상이 이산적일 수 있음을 보이며, 이러한 설정에서 고정점 정리의 적용 가능성을 보여주는 것.

제안 방법

• 자기거리를 기반으로 한 네 가지 공리(자기거리를 구분하는 성질, 자기거리의 최솟값에 의한 하界, 대칭성, 자기거리에서의 차이를 포함한 수정된 삼각부등식)를 통해 M-거리 공간을 정의한다.
• 부분 거리와 표준 거리 간의 관계를 나타내는 변환 $ d_p(x,y) = 2p(x,y) - p(x,x) - p(y,y) $를 사용하고, 이를 M-거리로 확장한다.
• 고정점 조건 분석을 위해 집합 $ S(z) = \{ x \in X : m(x,z) - m_{x,z} \leq \phi(z) - \phi(x) \} $ 를 도입한다.
• 수열 $ \{x_n\} $ 가 $ z $ 로 수렴할 경우, 부정법을 통해 불등식 조건을 만족하는 유일한 점 $ z $ 가 존재함을 보인다.
• 주요 정리와 그推론을 검증하기 위해 부분 거리 공간이 아닌 M-거리 공간의 두 가지 명시적 예를 구성한다.
• 예시에서 유도된 위상이 이산적임을 확인함(작은 $ \varepsilon > 0 $ 에 대해 $ B(x, \varepsilon) = \{x\} $), 이는 모든 실수 함수가 하향 연속적임을 의미하며 고정점 존재를 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 M-거리 공간은 부분 거리 공간을 어떻게 일반화하며, 주요 구조적 차이는 무엇인가?
• RQ2 Caristi-Kirk의 고정점 정리는 부분 거리 공간에서 M-거리 공간으로 확장될 수 있는가? 만약 가능하면, 어떻게 이루어지는가?
• RQ3 완비 M-거리 공간에서 자기사상이 고정점을 가지기 위한 하향 연속 함수 $ \phi $ 에 필요한 조건은 무엇인가?
• RQ4 부분 거리 공간이 아닌 M-거리 공간은 존재하는가? 그리고 이러한 공간은 일반화된 Caristi-Kirk 정리를 수용할 수 있는가?
• RQ5 특정 M-거리가 유도하는 이산 위상은 고정점 정리의 타당성과 적용 가능성에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 모든 부분 거리 공간은 M-거리 공간이지만, 그 역은 성립하지 않으며, 삼각부등식이 실패하는 반례를 통해 이를 입증한다.
• Karapınar(2011)가 제시한 부분 거리 공간에서의 Caristi-Kirk 정리 증명에 존재하던 결함을 수정하여, M-거리 공간 설정에서 논리적으로 타당한 증명을 확보한다.
• 완비 M-거리 공간에서 임의의 하향 연속 함수 $ \phi: X \to [0,\infty) $ 에 대해, 모든 $ x \neq z $ 에 대해 $ \phi(z) < \phi(x) + m(z,x) - m_{x,z} $ 를 만족하는 점 $ z \in X $ 가 존재함을 보여, 고정점 조건을 일반화한다.
• M-거리가 유도하는 위상은 이산적일 수 있으며, 이는 $ B(x, \varepsilon) = \{x\} $ (작은 $ \varepsilon > 0 $) 인 예시를 통해 입증된다. 이는 모든 실수 함수가 하향 연속적임을 의미한다.
• 구성된 예시에서 $ T(x) = 1 $ (단, $ x \neq 4 $), $ T(4) = 4 $ 로 정의된 자기사상 $ T $ 는 부등식 $ m(x,Tx) \leq \phi(x) - \phi(Tx) $ 를 만족하며, 고정점으로서 $ x = 1 $ 과 $ x = 4 $ 를 가짐을 확인하여 정리를 검증한다.
• M-거리 공간에서 일반화된 Caristi-Kirk 정리는 $ m = p $ 일 때 부분 거리 공간에서의 원래 결과로 축소되며, 서로 다른 구조 간의 일관성을 확인한다.