[논문 리뷰] Relations in the Cremona group over perfect fields

Julia Schneider|arXiv (Cornell University)|2019. 06. 12.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 10인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 $[\overline{\mathbf{k}}:\mathbf{k}] > 2$인 완전체 위에서 평면 크레모나 군의 새로운 정규부분군을 구축한다. 블랑, 라미, 지머만의 고차원 크레모나 군 전략을 적응하여, 사르키소프 링크와 갈루아 불변 점들의 구성으로, $\operatorname{Bir}_{\mathbf{k}}(\mathbb{P}^2)$에서 무한한 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$의 직합으로의 전사 군 준동형사를 수립한다. 이는 이 설정에서 크레모나 군의 단순성과 완전성의 부재를 증명한다.

ABSTRACT

For perfect fields $k$ satisfying $[\bar k:k]>2$, we construct new normal subgroups of the plane Cremona group and provide an elementary proof of its non-simplicity, following the melody of the recent proof by Blanc, Lamy and Zimmermann that the Cremona group of rank $n$ over (subfields of) the complex numbers is not simple for $n\geq3$.

연구 동기 및 목표

• 최근 고차원 크레모나 군에서의 단순성 부재 증명을 비대수적으로 닫힌 완전체 위의 평면 크레모나 군으로 확장한다.
• 갈루아 작용 하에서의 기하학적 불변량을 이용하여 $\operatorname{Cr}_2(\mathbf{k})$의 명시적 정규부분군을 구성한다.
• 고전적 대수기하학과 사르키소프 링크 분해에만 의존하는 단순성 부재에 대한 초보적 증명을 제공한다.
• 전사 준동형사를 $\operatorname{Bir}_{\mathbf{k}}(\mathbb{P}^2)$에서 무한한 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$의 직합으로 수립하여 군이 완전하지 않음을 보인다.

제안 방법

• 모리 피버 스페이스 사이의 비라션 사상의 군개 $\operatorname{BirMori}(X)$에서 유형 I~IV의 사르키소프 링크를 생성자로 사용한다.
• 갈루아 깊이로 정의된 링크의 분류, 즉 맵 또는 그 역의 기저 근거에 있는 갈루아 궤적의 최대 크기로 정의한다.
• 평면 $\mathbb{P}^2$에 있는 갈루아 궤적 크기 4 또는 2에서 유도된 $K_X^2 = 5$ 또는 $6$인 모리 포식기 배치 $X \to \mathbb{P}^1$를 구성한다.
• $\operatorname{PGL}_3(\mathbf{k})$ 작용과 갈루아 강하를 통한 이러한 포식기 배치의 동치류 식별.
• 높은 갈루아 깊이(예: $2n+1 \geq 17$)를 가진 유형 II 링크를 사용하여 목표 군 내에서 독립적인 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ 성분을 생성한다.
• 서로 다른 포식기 배치의 동치류에 해당하는 인덱스로의 사영을 통해 $\bigoplus_I \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$로의 준동형사를 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 블랑, 라미, 지머만의 고차원 크레모나 군 전략을 비대수적으로 닫힌 체 위의 평면 크레모나 군에 적응할 수 있는가?
• RQ2 점과 곡선의 갈루아 궤적이 $\operatorname{Cr}_2(\mathbf{k})$의 정규부분군 구성에 어떤 역할을 하는가?
• RQ3 만약 $[\overline{\mathbf{k}}:\mathbf{k}] > 2$이면 크레모나 군의 구조는 어떻게 변화하는가?
• RQ4 무한한 수의 독립적인 $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$-값 불변량이 $\operatorname{Bir}_{\mathbf{k}}(\mathbb{P}^2)$에 존재하는가?
• RQ5 $[\overline{\mathbf{k}}:\mathbf{k}] > 2$인 완전체에 대해 $\operatorname{Bir}_{\mathbf{k}}(\mathbb{P}^2)$의 아벨화의 기수는 얼마인가?

주요 결과

• 모든 완전체 $\mathbf{k}$에 대해 $[\overline{\mathbf{k}}:\mathbf{k}] > 2$이면, 전사 군 준동형사 $\operatorname{Bir}_{\mathbf{k}}(\mathbb{P}^2) \twoheadrightarrow \bigoplus_I \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$가 존재하며, $I$는 무한하다.
• 이 준동형사의 핵은 $\operatorname{PGL}_3(\mathbf{k})$를 포함한다. 이는 $\mathbb{P}^2$의 자동사상군이다.
• 준동형사의 부분군 $\{(x,y) \mapsto (xp(y),y) \mid p \in \mathbf{k}(y) \setminus \{0\}\}$로의 제한은 전사이다.
• $K_X^2 = 5$인 모리 포식기 배치의 서로 다른 동치류의 수는 $\mathcal{N}_4$ 이상이다. 여기서 $\mathcal{N}_4$는 $\mathbf{k}[x]$에서의 홀수 차수의 기약 다항식의 수이다.
• $K_X^2 = 6$인 모리 포식기 배치의 서로 다른 동치류의 수는 $\mathcal{N}_2$ 이상이다. 여기서 $\mathcal{N}_2$는 $\mathbf{k}[x]$에서의 기약 이차다항식의 수이다.
• $\mathbb{Q}$에서는 $\mathcal{N}_2$와 $\mathcal{N}_4$ 모두 무한하므로, 인덱스 집합 $I$는 무한하고 목표 군은 비가산이다.