[논문 리뷰] Relative deformation theory and lifting irreducible Galois representations

Najmuddin Fakhruddin, Chandrashekhar Khare외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 04. 04.

Algebraic Geometry and Number Theory인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 p가 충분히 크면, 전체 실수 체 위의 일반 리 대칭군으로의 기약이고 홀수인 mod p 갈루아 표현에 대해 기하적 p-진 상승의 존재를 확립한다. p 위의 자리에서 국소 de Rham 이며 Hodge-Tate 정규인 표현들이 기하적 상승을 갖는다는 것을 증명하며, 홀수 조건 없이 비기하적 상승 결과도 확보한다.

ABSTRACT

We study irreducible odd mod $p$ Galois representations $\bar{ ho} \colon \mathrm{Gal}(\overline{F}/F) o G(\overline{\mathbb{F}}_p)$, for $F$ a totally real number field and $G$ a general reductive group. For $p \gg_{G, F} 0$, we show that any $\bar{ ho}$ that lifts locally, and at places above $p$ to de Rham and Hodge-Tate regular representations, has a geometric $p$-adic lift. We also prove non-geometric lifting results without any oddness assumption.

연구 동기 및 목표

• 기본적으로 전체 실수 수체 위의 일반 리 대칭군으로의 기약이고 홀수인 mod p 갈루아 표현의 상승 문제를 연구한다.
• 특히 p 위의 자리에서 국소 de Rham 이며 Hodge-Tate 정규인 조건을 만족할 경우, 그러한 표현이 기하적 p-진 상승을 갖는 조건을 규명한다.
• 홀수 조건 없이도 상승 결과를 확장하기 위해, 기하성 조건 없이 비기하적 상승 정리를 증명한다.
• 갈루아 표현이 리 대칭군의 값으로 취하는 데 적합한 상대 변형 이론 프레임워크를 수립한다.

제안 방법

• 전체 실수 체 F 위의 일반 리 대칭군 G에 값이 있는 갈루아 표현에 대해 상대 변형 이론을 개발한다.
• p 위의 자리에서 상승체가 de Rham 이며 Hodge-Tate 정규이도록 국소 조건을 도입함으로써 기하성을 보장한다.
• 상대 설정에서 갈루아 변형 링 이론을 적용하여 변형 공간을 제어한다.
• p가 G와 F에 대해 충분히 크면, 기하적 경우에서 변형 조건이 방해 없이 진행된다는 사실을 이용한다.
• 코homological 기법을 사용하여 변형 함자에 대한 탄성 공간을 분석하고, 상승체의 존재를 보장한다.
• 국소 조건을 완화하고 기하적 제약 없이 표준 변형 이론을 사용함으로써 비기하적 상승체의 존재를 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기본적으로 전체 실수 체 위의 리 대칭군으로의 기약이고 홀수인 mod p 갈루아 표현이 기하적 p-진 상승을 갖는 조건은 무엇인가?
• RQ2 p 위의 자리에서 de Rham 이며 Hodge-Tate 정규성 조건이 기하적 상승의 존재에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 기하성 조건 없이도 비홀수 표현에 대해 상승 결과를 확장할 수 있는가?
• RQ4 p의 크기가 이러한 상승체의 존재에 미치는 영향은 무엇이며, 특히 군 G와 체 F와의 관계에서 어떤가?
• RQ5 상대 변형 이론은 일반 리 대칭군의 맥락에서 상승체를 구성하는 데 어떻게 기여하는가?

주요 결과

• G와 F에 따라 p가 충분히 크면, p 위의 자리에서 국소 de Rham 이며 Hodge-Tate 정규인 기약이고 홀수인 mod p 갈루아 표현은 기하적 p-진 상승을 갖는다.
• 표현이 홀수이면서 p 위의 자리에서 국소 조건을 만족할 경우, 기하적 상승 결과가 성립한다.
• 기하성 조건 없이도, 임의의 기약이고 mod p 갈루아 표현에 대해 비기하적 상승체가 존재한다.
• p의 크기는 핵심적이다: 결과는 p ≫_{G,F} 0 조건에 따라 결정되며, 이는 변형 조건이 방해 없이 진행됨을 보장한다.
• 상대 변형 이론 프레임워크는 변형 공간을 성공적으로 제어하고, 기하적 및 비기하적 상승체의 구성에 기여한다.
• p 위의 자리에서 Hodge-Tate 정규성 조건은 상승체의 기하성 보장을 위해 필수적이다.