[논문 리뷰] Relative DGA and mixed elliptic motives

Kenichiro Kimura, Tomohide Terasoma|arXiv (Cornell University)|2010. 10. 19.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 8인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 타원 모티프와 관련된 미분가환대수(DGA)의 상대 바 복합체를 통해 호프 대수를 구성하며, 그 호프 대수의 코모듈의 범주가 혼합 타원 모티프의 범주를 실현함을 증명한다. 이와 동시에, 가상의 혼합 타원 모티프의 DG 범주와 바-코모듈 범주의 사이에 호모토피 동치를 확립하여, 타원 다중로그 함수를 대칭 테이트 모듈의 코모듈構조를 통해 혼합 타원 모티프로서의 모티브 실현을 제공한다.

ABSTRACT

Bloch and Kriz construct an abelian category of mixed Tate motives as the category of comodules over a Hopf algebra obtained by the bar construction of the DGA of cycle complexes. In this paper we generalize their construction to give the definition of a category of mixed elliptic motives, i.e. a Tannakian category of mixed motives generated by an elliptic curve. We introduce the notion of a relative DGA over a reductive group. Then the category of mixed elliptic motives is defined as the category of comodules over the relative bar construction of a certain DGA $A_{EM}$ which is constructed from cycle complexes. The elliptic polylogarithm of Beilinson-Levin gives an interesting object in this category.

연구 동기 및 목표

• 상대 미분가환대수와 바 복합체를 사용하여 혼합 타원 모티프의 모티브 실현을 구성하는 것.
• 가상의 혼합 타원 모티프의 DG 범주와 상대 바 복합체로부터 유도된 호프 대수 위의 코모듈 범주 사이의 호모토피 동치를 확립하는 것.
• 대칭 테이트 모듈의 코모듈 구조를 통해 타원 다중로그 함수를 혼합 타원 모티프로서의 모티브 해석을 제공하는 것.
• 혼합 타원 모티프에 대한 블로크-크리츠 구성의 일반화를 상대 DGA와 단순 복합체 바 복합체를 사용하여 타원 설정으로 확장하는 것.

제안 방법

• 타원 곡선의 모노드로미 표현을 모델링하기 위해 재구성군 $ S(k) $ 에 대한 상대 DGA $ A/ heta $ 를 정의한다.
• 상대 바 복합체 $ Bar(A/ heta, ho) $ 와 그 단순 복합체 형태인 $ Bar_{simp}(A/ heta, ho) $ 를 구성하고, 이들이 준동치임을 증명한다.
• 소규모 DG 범주 $ C_{VEM} $ 위의 DG 복합체의 범주로서 가상 혼합 타원 모티프의 DG 범주 $ (VMEM) $ 를 정의한다.
• 함자 $ phi $ 를 통해 $ K(C_{VEM}) $ 와 $ Bar(C_{VEM}) $-코모듈의 범주 사이의 호모토피 동치를 확립한다.
• 상대 바 복합체를 사용하여 호프 대수 $ H^0(Bar(C_{VEM})) $ 를 정의하고, 그 코모듈의 범주가 혼합 타원 모티프의 아벨 범주와 추측적으로 동치임을 제안한다.
• 대칭 테이트 모듈의 복합체 $ igoplus_{i=-1}^n S^i(V)(i) $ 에서의 코모듈 구조를 통해 타원 다중로그 함수를 혼합 타원 모티프로서 실현하며, $ pl_i $ 와 $ i_s $ 를 포함하는 명시적 코프로덕트 공식을 제시한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 상대 바 복합체로 구성된 호프 대수 위의 코모듈의 범주로서 혼합 타원 모티프의 범주가 실현될 수 있는가?
• RQ2 타원 곡선의 모노드로미 표현과 관련된 DGA의 상대 바 복합체가 모티브 구조와 어떻게 관련되는가?
• RQ3 타원 다중로그 함수가 호프 대수 위의 코모듈로서 자연스럽게 혼합 타원 모티프로 실현되는가?
• RQ4 다중로그 확장 자료를 실현하는 대칭 복합체 $ S^i(V)(i) $ 에 대한 정확한 코모듈 구조는 무엇인가?
• RQ5 혼합 타원 모티프에 대한 블로크-크리츠 구성은 상대 DGA와 단순 복합체 바 복합체를 사용하여 타원 설정으로 일반화될 수 있는가?

주요 결과

• 단순 복합체 바 복합체 $ Bar_{simp}(A/ heta, ho) $ 는 표준 상대 바 복합체 $ Bar(A/ heta, ho) $ 와 준동치이며, 이는 호모토피 일致성을 보장한다.
• 가상 혼합 타원 모티프의 DG 범주 $ (VMEM) $ 는 $ Bar(C_{VEM}) $-코모듈의 DG 범주와 호모토피 동치이며, 이는 유도 동치를 확립한다.
• 다중로그 모티프 $ Pl_{MEM,n} $ 는 함자 $ phi $ 를 통해 $ H^0(Bar) $-코모듈 $ Pl_n $ 과 대응되며, 구성원소 $ Pl_n^i = S^i(V)(i) $ 는 $ 0 \to n $ 에 대해, $ Pl_n^{-1} = V $ 이다.
• $ \fphi(Pl_{MEM,n}) $ 의 코프로덕트 구조는 $ pl_u $, $ i_s $, $ \rho $ 를 포함하는 구성원소로 명시적으로 주어지며, $ a_{ij} $ 는 텐서곱과 부호를 통해 코모듈 작용을 표현한다.
• 다중로그 클래스 $ \tilde{P}_n $ 의 닫힘은 관계식 $ \nabla(pl_i) + (-1)^i i_s(pl_{i-1}) = 0 $ 과 대응되며, 이는 복합체의 미분과 일致함을 보장한다.
• 타원 다중로그 함수 클래스 $ P_n $ 은 노름 사상 아래에서 대각선 사이클의 이미지로 식별되며, 그 코homology 클래스는 $ CH^1(U \times (U_B^1)_s, 0)_{-,sgn}^{(1)} \to \bbQ\Delta $ 에서 생성자를 나타낸다.