[论文解读] Relative orbifold Gromov-Witten theory and degeneration formula

Bohui Chen, An-Min Li+2 more|arXiv (Cornell University)|Oct 31, 2011

Geometric and Algebraic Topology参考文献 34被引用 19

一句话总结

本文建立了相对全纯轨道Gromov-Witten理论，并通过将相对结构与轨道结构扩展至在相对标记点处具有分数接触阶的稳定映射，证明了轨道Gromov-Witten不变量的退化公式。关键贡献是通过Kuranishi结构构造了虚拟基本循环，并建立了粘合定理，从而实现了沿公共除子对辛轨道的退化分解，将Li-Ruan的公式推广至轨道情形。

ABSTRACT

Relative orbifold Gromov-Witten theory is set-up and the degeneration formula is given.

研究动机与目标

• 将Gromov-Witten不变量的退化公式推广至轨道情形，其中目标空间为具有除子退化的辛轨道。
• 定义在相对标记点处具有分数接触阶的相对轨道稳定映射，推广光滑情形下的接触阶概念。
• 通过Kuranishi结构构造相对轨道稳定映射模空间的虚拟基本循环，并证明其与退化的一致性。
• 证明一个退化公式，将退化轨道的轨道Gromov-Witten不变量表示为两部分组件的相对不变量的乘积之和。
• 为未来应用奠定基础，例如在复维度三中证明轨道量子上同调在轨道flop下的不变性。

提出的方法

• 引入轨道相对对 $(\mathsf{G}, \mathsf{Z})$，其中 $\mathsf{Z}$ 是轨道 $\mathsf{G}$ 中的辛除子，并定义带有标记点处单值数据的相对轨道稳定映射。
• 通过轨道映射在局部模型 $\mathbb{D}/\mathbb{Z}_m \to (V \times \mathbb{C})/G_z$ 上提升的泰勒展开最低次项，定义相对标记点处的分数接触阶 $\ell = k/|h|$，其中 $h$ 生成单值群。
• 构造相对轨道稳定映射的模空间 $\overline{\mathcal{M}}_{g,\mathbf{g},A}(\mathsf{G}, \mathsf{Z})$，并通过底层面映射的收敛性以及节点和穿孔处轨道结构的填充性，证明其紧致性。
• 在模空间上建立Kuranishi结构，其局部模型由加权Sobolev空间和节点处的粘合数据构成，并证明虚拟基本循环的存在性。
• 通过构造坐标图近似对的粘合映射的局部同胚，控制 $\bar{\partial}$-算子范数，利用 $\|\bar{\partial}\mathsf{v}\| \leq C r^{1-\alpha}$ 的估计，证明相对轨道映射的粘合定理。
• 通过在退化位置拼接虚拟循环，证明退化公式：退化轨道的总不变量等于两部分组件的相对不变量乘积之和。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将Gromov-Witten不变量的退化公式推广至轨道情形，特别是在目标空间为具有除子退化的辛轨道时？
• RQ2 相对轨道稳定映射的正确接触阶概念是什么？它如何通过单值群和局部轨道提升推广至光滑情形？
• RQ3 能否通过Kuranishi结构为相对轨道稳定映射的模空间构造虚拟基本循环？其与退化是否一致？
• RQ4 相对轨道映射在节点处的粘合行为如何？能否通过 $\bar{\partial}$-算子估计和右逆范数控制，建立粘合映射的局部同胚？
• RQ5 轨道情形下的退化公式的精确形式是什么？它与轨道量子上同调在轨道flop下的不变性有何关联？

主要发现

• 本文通过Kuranishi结构为相对轨道稳定映射的模空间构造了虚拟基本循环，其局部模型基于加权Sobolev映射和轨道粘合数据。
• 通过 $\bar{\partial}$-算子及其导数的估计，证明了相对轨道映射的粘合定理，其中 $\|\bar{\partial}\mathsf{v}\| \leq C r^{1-\alpha}$，并表明粘合映射是局部同胚。
• 证明了退化公式：退化轨道 $X^+ \wedge_Z X^-$ 的轨道Gromov-Witten不变量可表示为 $(X^+, Z)$ 和 $(X^-, Z)$ 的相对不变量乘积之和，推广了光滑情形。
• 通过轨道映射提升的泰勒展开最低次项，定义了分数接触阶 $\ell = k/|h|$，为轨道情形下的接触阶提供了一致的推广。
• 该构造与Chen-Ruan上同调相容，并可通过在虚拟循环上积分定义轨道相对Gromov-Witten不变量。
• 该框架为未来应用提供了基础，例如在后续工作 [CLZ] 中证明复维度三中轨道量子上同调在轨道flop下的不变性。