[논문 리뷰] Remarks on Ruelle Operator and invariant line fields problem II

Peter Makienko|ArXiv.org|2001. 10. 25.

Mathematical Dynamics and Fractals참고 문헌 6인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 르제르 집합에 비율형 사상의 합성 가능한 임계점이 존재할 경우, Ruelle 연산자 이론과 준동형 변형 기법을 사용하여 구조적 안정성이 불가능하다는 것을 증명한다. 주요 결과는 그러한 사상이 불안정하다는 것을 보이며, 더 나아가 합성 가능 조건과 완전히 포함된 영역 조건 하에서 르제르 집합에 대한 불변 선형장의 존재하지 않음을 보여준다.

ABSTRACT

Let R be rational map. Critical point c is called summable if series $\sum_i\frac{1}{(R^i)'(R(c))}$ is absolutely convergent. Under some topological condition on postcritical set we prove that R can not be structurally stable if summable critical point $c \in J(R)$.

연구 동기 및 목표

• 르제르 집합에 합성 가능한 임계점을 가진 유리형 사상이 구조적으로 안정적이지 않음을 증명하는 것.
• 합성 가능성 조건과 Ruelle 연산자 이론을 사용하여 불변 선형장 문제의 결과를 확장하는 것.
• 합성 가능성과 완전히 포함된 영역 조건 하에서 르제르 집합에 대한 불변 선형장의 존재하지 않음을 위한 새로운 접근법을 제공하는 것.
• 합성 가능성과 준동형 변형 기법을 사용하여 이전의 다항식 사상 결과를 유리형 사상으로 일반화하는 것.
• 일정한 급수의 영이 아닌 성질과 유리형 사상의 구조적 불안정성 사이의 연관성을 설정하는 것.

제안 방법

• 임계 궤도의 합성 가능성에 기반한 Ruelle 연산자와 고정점 구성 기법을 사용한다.
• 준동형 변형 이론을 적용하여 변형 공간 $ qc(R) $ 의 차원을 분석하고, $ 2\deg(R) - 2 $ 와 비교한다.
• 무한소 변형을 묘사하기 위해 해석적 벡터장의 공간 $ H^1(R) $ 을 도입한다.
• Beltrami 미분과 그 고정점을 특성화하여 준동형 변형을 분석하기 위해 Bers 연산자 $ B_R $ 을 활용한다.
• 일반화된 Mergelyan 유형 근사와 Fubini 정리를 적용하여 특정 $ L^1 $-함수가 거의 어디서나 0이 됨을 보인다.
• 모비우스 변환과의 공액 기법을 사용하여 공액에 따른 합성 가능성의 불변성을 분석하고, 이 조건이 유지되지 않음을 보인다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 후임점 집합과 임계 궤도의 합성 가능성 조건 하에서 유리형 사상이 구조적으로 불안정해지는 조건은 무엇인가?
• RQ2 임계점 $ c \in J(R) $ 를 가진 유리형 사상에서 급수 $ \sum_{i=0}^\infty \frac{1}{(R^i)'(R(c))} $ 가 영이 아니면 구조적 불안정성이 유도되는가?
• RQ3 르제르 집합에 합성 가능한 임계점이 존재할 경우, 불변 선형장의 존재는 배제되는가?
• RQ4 합성 가능성 조건이 준동형 변형 공간 $ qc(R) $ 의 차원에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 Ruelle 연산자 접근법이 유리형 동역학에서 불변 선형장을 연구하는 데 있어 어떤 정도로 새로운 방법을 제공하는가?

주요 결과

• 유리형 사상 $ R $ 가 르제르 집합에 속한 합성 가능한 임계점 $ c \in J(R) $ 와 함께 $ \sum_{i=0}^\infty \frac{1}{(R^i)'(R(c))} \neq 0 $ 를 만족하면, $ R $ 는 구조적으로 안정적이지 않다.
• 합성 가능성 조건 하에서 준동형 변형 공간 $ qc(R) $ 의 차원은 $ 2\deg(R) - 2 $ 보다 엄밀히 작다. 이는 구조적 안정성과 모순된다.
• 완전히 포함된 영역을 가지며 모든 임계점이 $ J(R) $ 에 속하고 합성 가능한 유리형 사상 $ R $ 에 대해서는 $ J(R) $ 에 불변 선형장이 존재하지 않는다.
• Ruelle 연산자와 관련된 연산자 $ \beta $ 의 상은 합성 가능성 조건 하에서 적어도 1 이상의 여부공간을 가진 부분공간에 속한다. 이는 시스템이 선형적으로 종속일 경우 $ J_R = \emptyset $ 를 의미한다.
• 방정식계로부터 구성된 함수 $ \alpha(z) = \sum B_i A(z, R, R(c_i)) $ 는 복소평면 전체에서 거의 어디서나 0이 되어야 하며, 이는 선형 종속일 경우 합성 가능성 조건과 모순된다.
• 증명은 측도 $ \sum_i B_i \sum_n \frac{\delta_{R^n(R(c_i))}}{(R^n)'(R(c_i))} = 0 $ 이 성립함을 보여, 이는 $ W $ 의 정의에서 조건 (2) 하에서 합성 가능성 급수의 절대수렴성과 모순된다.