[논문 리뷰] Representation formulae for the fractional Brownian motion

Picard, Jean|arXiv (Cornell University)|2009. 12. 16.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 26인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 확률적 적분과 급수 전개를 통해 분수 Browian 운동(fBm)의 표현 공식을 통합적으로 다루며, fBm, Riemann-Liouville 과정, 그리고 Fourier-Wiener 급수 간의 관계를 수립한다. fBm, Riemann-Liouville 과정, Fourier-Wiener 급수의 Cameron-Martin 공간이 동치임을 증명하고, 분수 미적분학과 에르고딕 이론을 이용해 그들의 측도가 동치 또는 상호 독립임을 조건화한다.

ABSTRACT

We discuss the relationships between some classical representations of the fractional Brownian motion, as a stochastic integral with respect to a standard Brownian motion, or as a series of functions with independent Gaussian coefficients. The basic notions of fractional calculus which are needed for the study are introduced. As an application, we also prove some properties of the Cameron-Martin space of the fractional Brownian motion, and compare its law with the law of some of its variants. Several of the results which are given here are not new; our aim is to provide a unified treatment of some previous literature, and to give alternative proofs and additional results; we also try to be as self-contained as possible.

연구 동기 및 목표

• 분수 Browian 운동(fBm)의 고전적 표현을 확률적 적분과 급수 전개를 통해 통합하고 재유도하는 것.
• fBm, Riemann-Liouville 과정, Fourier-Wiener 급수 표현 간의 관계를 명확히 하는 것.
• fBm의 Cameron-Martin 공간을 분석하고, 그 측도를 변형과 비교하여 동치성 및 독립성 기준을 적용하는 것.
• 기존 결과에 대한 자가 포함된 증명과 다른 유도 방법을 제공하는 것.

제안 방법

• 표준 Brownian 운동 W에 대한 fBm의 확률적 적분 표현을 ∫K^H(t,s)dW_s로 사용한다.
• 특히 Riemann-Liouville 및 가중 분수 미분 연산자를 포함한 분수 미적분학을 적용하여 커널 표현을 도출한다.
• 자기유사 과정과 정적 과정 간의 관계를 설정하기 위해 Lamperti 변환을 사용한다.
• 소규모 시간 행동과 자기유사 과정의 전체 공분산 구조 간의 관계를 설정하기 위해 Birkhoff 에르고딕 정리를 적용한다.
• Cameron-Martin 공간의 동형과 Hilbert-Schmidt 연산자를 통한 가우시안 측도의 동치성 또는 독립성 여부를 판단하기 위해 Feldman-Hájek 정리를 적용한다.
• Cameron-Martin 공간 간의 연산자 Q−I의 Hilbert-Schmidt 성질을 분석하여 fBm 및 그 변형의 측도를 비교한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 분수 Browian 운동은 표준 Brownian 운동에 대한 확률적 적분으로 어떻게 표현할 수 있는가?
• RQ2 fBm, Riemann-Liouville 과정, Fourier-Wiener 급수 표현 간의 관계는 무엇인가?
• RQ3 두 fBm 변형의 측도가 언제 동치 또는 상호 독립인가?
• RQ4 fBm의 Cameron-Martin 공간은 그 변형들의 것과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ5 소규모 시간 행동으로부터 자기유사 가우시안 과정의 전체 측도를 복원할 수 있는가?

주요 결과

• 적절한 매개변수 선택 하에 fBm, Riemann-Liouville 과정, Fourier-Wiener 급수 표현의 Cameron-Martin 공간은 동치이다.
• fBm의 측도가 그 Riemann-Liouville 변형과 동치임은 그 연관된 연산자 Q−I가 Hilbert-Schmidt일 때이고, 그 경우에만 성립한다.
• H ∈ (0,1)일 때, fBm의 측도는 Birkhoff 에르고딕 정리를 통해 소규모 시간 공분산 행동으로 유일하게 결정된다.
• Volterra 커널을 통한 fBm의 표준 표현은 fBm의 필터링이 구동 과정의 증분 필터링에 포함됨을 보장한다.
• 분수 Browian 운동에서 H=1인 경우는 무한한 분산과 소규모 시간에서의 0-1 법칙 실패로 인해 분석에서 제외된다.
• 분리 가능한 Fréchet 공간 위의 중심 가우시안 측도 두 개가 동치임은 그 Cameron-Martin 공간이 동형이며, 차이 연산자 Q−I가 Hilbert-Schmidt일 때이고, 그 경우에만 성립한다.