[논문 리뷰] Representation Theory of Chern Simons Observables

Anton Alekseev, Volker Schomerus|ArXiv.org|1995. 03. 29.

Algebraic structures and combinatorial models인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 초전도체 이론을 위한 새로운 양자 대수인 모듈리 대수의 유니터리 표현을 분류하고, 그 표현 공간을 WZW 모델의 conformal block과 연결한다. 이는 매핑 클래스 군이 모듈리 대수 위에 내부 자동형사상으로 작용함을 증명하며, 그 중심 확장의 관계를 만족하는 명시적인 유니터리 생성자를 제시한다.

ABSTRACT

Recently we suggested a new quantum algebra, the moduli algebra, which was conjectured to be a quantum algebra of observables of the Hamiltonian Chern Simons theory. This algebra provides the quantization of the algebra of functions on the moduli space of flat connections on a 2-dimensional surface. In this paper we classify unitary representations of this new algebra and identify the corresponding representation spaces with the spaces of conformal blocks of the WZW model. The mapping class group of the surface is proved to act on the moduli algebra by inner automorphisms. The generators of these automorphisms are unitary elements of the moduli algebra. They are constructed explicitly and proved to satisfy the relations of the (unique) central extension of the mapping class group.

연구 동기 및 목표

• 해밀토니안 초전도체 이론에서의 관측가능량으로 제안된 양자 대수인 모듈리 대수의 유니터리 표현을 분류하는 것.
• 모듈리 대수의 표현 공간과 WZW 모델의 conformal block 사이의 대응 관계를 수립하는 것.
• 표면의 매핑 클래스 군이 모듈리 대수 위에 내부 자동형사상으로 작용함을 보이는 것.
• 이 자동형사상의 명시적인 유니터리 생성자를 구성하고, 그들이 매핑 클래스 군의 중심 확장의 관계를 만족하는지 확인하는 것.
• 2차원 다양체 위의 평탄한 접속의 모듈리 공간의 양자화를 위한 표현 이론적 기초를 제공하는 것.

제안 방법

• 2차원 표면 위의 초전도체 이론에 대해 모듈리 대수를 관측가능량의 양자 대수로 사용한다.
• 표현 이론을 적용하여 모듈리 대수의 모든 유니터리 표현을 분류한다.
• 양자군의 구조를 통해 수립된 대응을 통해 표현 공간을 WZW 모델의 conformal block과 연결한다.
• 매핑 클래스 군의 작용을 생성하는 모듈리 대수 내의 명시적인 유니터리 원소를 구성한다.
• 이 유니터리 생성자가 매핑 클래스 군의 유일한 중심 확장의 정의 관계를 만족함을 증명한다.
• 특히 아핀 리 대수의 표현 이론을 활용한 양자 대수학 및 conformal field theory의 기법을 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 초전도체 이론의 맥락에서 모듈리 대수의 유니터리 표현은 어떻게 분류할 수 있는가?
• RQ2 모듈리 대수의 표현 공간과 WZW 모델의 conformal block 사이의 정확한 대응 관계는 무엇인가?
• RQ3 매핑 클래스 군은 모듈리 대수 위에 어떻게 작용하며, 이 작용은 내부 자동형사상으로 실현될 수 있는가?
• RQ4 매핑 클래스 군 작용의 명시적인 생성자는 모듈리 대수 내에서 무엇이며, 그들이 올바른 대수적 관계를 만족하는가?
• RQ5 매핑 클래스 군의 중심 확장은 모듈리 대수 내의 유니터리 원소를 통해 실현될 수 있는가?

주요 결과

• 모듈리 대수의 유니터리 표현은 완전히 분류되었으며, 그 표현 공간은 WZW 모델의 conformal block과 일치함이 확인되었다.
• 표면의 매핑 클래스 군이 모듈리 대수 위에 내부 자동형사상으로 작용함을 증명하여 위상수학과 양자 대칭 사이의 깊은 대칭적 연결 고리가 존재함을 밝혔다.
• 매핑 클래스 군 작용의 명시적인 유니터리 생성자가 모듈리 대수 내에 구성되었다.
• 이 유니터리 생성자는 매핑 클래스 군의 유일한 중심 확장의 관계를 만족함을 확인하여 기존의 위상적 양자장 이론의 구조와 일관됨을 입증했다.
• 모듈리 대수는 2차원 표면 위의 평탄한 접속의 모듈리 공간의 함수 대수에 대해 일관된 양자화를 제공한다.
• 결과적으로 초전도체 이론, conformal field theory, 양자군의 표현 이론 사이에 정밀한 다리를 놓는 데 기여했다.