[논문 리뷰] Reproducing kernel Hilbert spaces and Mercer theorem

Claudio Carmeli, Ernesto De Vito외 1명|ArXiv.org|2005. 04. 05.

Mathematical functions and polynomials참고 문헌 16인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 재생 핵 힐버트 공간(RKHS)의 원소가 $p$-적분 가능 또는 연속 함수임을 증명하기 위해, 재생 핵에 의해 정의된 적분 연산자의 유계성과 스펙트럼 성질과 RKHS의 정규성 간의 관계를 연결함으로써 그 특성을 규명한다. 주요 기여는 멱등성의 정리(Mercer의 정리)를 일반화한 것으로, RKHS가 $L^2(X,\mu) \cap \mathcal{C}(X)$에 연속적으로 통합될 경우, 핵과 공간의 구조가 관련된 적분 연산자의 스펙트럼 분해에 의해 완전히 결정됨을 보여준다.

ABSTRACT

We characterize the reproducing kernel Hilbert spaces whose elements are $p$-integrable functions in terms of the boundedness of the integral operator whose kernel is the reproducing kernel. Moreover, for $p=2$ we show that the spectral decomposition of this integral operator gives a complete description of the reproducing kernel.

연구 동기 및 목표

• 재생 핵 힐버트 공간(RKHS)의 원소가 $p$-적분 가능 함수($1 \leq p \leq \infty$)임을 관련된 적분 연산자의 유계성에 따라 특성화하는 것.
• RKHS가 $L^2$-함수로 구성되어 있을 경우, 멱등성의 정리를 비콤팩트 및 컴팩트 지지가 없는 정의역으로 확장하여 재생 핵의 스펙트럼 분해를 확립하는 것.
• 벡터 값 함수 $\gamma: X \to \mathcal{H}$의 약한 미분 가능성, 약한 적분 가능성 및 정규성 간의 관계를 명확히 하는 것.
• $v \mapsto \langle v, \gamma(\cdot) \rangle_{\mathcal{H}}$의 평가 연산자의 컴팩트성 및 연속성 성질이 $\gamma$의 정규성과 어떻게 관련되어 있는지 조사하는 것.
• 특정한 함수해석학 도구, 특히 $L^2$로의 포함 사상의 극분해를 사용하여 고전적인 RKHS 결과들을 자가 포함적이고 기본적인 방식으로 증명하는 것.

제안 방법

• 저자들은 평가 사상 $x \mapsto \gamma_x$를 통해 RKHS $\mathcal{H}$를 $X$ 위의 함수 공간과 표준적으로 연결하고, $\gamma_x(y) = \Gamma(y,x)$로 정의되며, 핵 $\Gamma$를 갖는 적분 연산자 $L_\Gamma$를 정의한다.
• 약한 $p$-적분 가능성의 특성을 $L^{p/(p-1)}(X,\mu)$에서 $L^p(X,\mu)$로의 $L_\Gamma$의 유계성에 따라 페티스 적분 이론을 적용하여 특성화한다.
• 특히 $p=1$의 경우, 평가 연산자 $v \mapsto \langle v, \gamma(\cdot) \rangle_{\mathcal{H}}$가 비유한 측도일지라도 $L^1(X,\mu)$로 컴팩트함을 증명하며, 페티스의 결과를 확장한다.
• 포함 사상 $W: \mathcal{H} \to L^2(X,\mu)$의 극분해를 사용하여 $L_\Gamma = W W^*$의 스펙트럼 성질과 $\mathcal{H}$의 구조 간의 관계를 규명한다.
• 스펙트럼 분해의 증명은 $\mathcal{H} \subset L^2(X,\mu) \cap \mathcal{C}(X)$일 경우 $L_\Gamma$가 양의 자기수반 추상적 트레이스 클래스 연산자임을 바탕으로 하며, 이의 스펙트럼 분해는 핵 전개 $\Gamma(x,y) = \sum_n \lambda_n \phi_n(x) \overline{\phi_n(y)}$를 유도한다.
• 저자들은 $\mathcal{H}$가 정확히 다음 조건을 만족하는 연속적인 $L^2$ 함수 $v$들로 이루어져 있음을 보이며, 이는 $\sum_n \frac{1}{\lambda_n} |\langle v, \phi_n \rangle_{L^2}|^2 < \infty$ 이고, $\mathcal{H}$ 노름은 이 급수로 주어진다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 재생 핵 힐버트 공간 $\mathcal{H}$가 $1 \leq p \leq \infty$에 대해 $L^p(X,\mu)$에 포함되는 조건는 무엇이며, 이는 핵의 적분 연산자의 성질을 통해 어떻게 특성화될 수 있는가?
• RQ2 평가 사상 $\gamma: X \to \mathcal{H}$가 약한 측도 가능성 또는 약한 $p$-적분 가능성을 갖는 조건는 무엇이며, 이는 핵 $\Gamma(x,y) = \langle \gamma_y, \gamma_x \rangle_{\mathcal{H}}$의 측도 가능성과 유계성과 어떻게 관련되는가?
• RQ3 핵 $\Gamma$가 $X \times X$에서 연속일 때와 평가 연산자 $v \mapsto \langle v, \gamma(\cdot) \rangle_{\mathcal{H}}$의 컴팩트성 사이의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ4 RKHS $\mathcal{H} \subset L^2(X,\mu) \cap \mathcal{C}(X)$일 경우, 적분 연산자 $L_\Gamma$의 스펙트럼 분해가 어떻게 재생 핵과 RKHS의 구조를 재건하는가?
• RQ5 $\Gamma(x,y) = \sum_n \lambda_n \phi_n(x) \overline{\phi_n(y)}$의 급수 전개가 컴팩트 부분집합에서 균등 수렴하기 위한 조건는 무엇이며, 이는 $\gamma$의 강한 연속성과 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• 함수 $\gamma: X \to \mathcal{H}$가 약한 $p$-적분 가능할 조건은, 핵 $\Gamma(x,y) = \langle \gamma_y, \gamma_x \rangle_{\mathcal{H}}$를 갖는 적분 연산자 $L_\Gamma$가 $L^{p/(p-1)}(X,\mu)$에서 $L^p(X,\mu)$로 유계일 때이다. 이는 $1 \leq p \leq \infty$에 대해 성립한다.
• $p=1$일 경우, 평가 연산자 $v \mapsto \langle v, \gamma(\cdot) \rangle_{\mathcal{H}}$는 $\mu$가 비유한 측도일지라도 $L^1(X,\mu)$로 컴팩트함을 보이며, 이는 페티스의 결과를 확장한다.
• 만약 $X$가 국소 콤팩트이고 $\gamma$가 약한 연속성을 갖는다면, 핵 $\Gamma(x,y)$는 국소적으로 유계이며 개별적으로 연속적이다. 더 나아가 $\Gamma$가 $X \times X$에서 연속일 조건은 평가 연산자가 $\mathcal{C}(X)$로 컴팩트일 때이다.
• 만약 $X$가 국소 콤팩트이고, 두 번째 가산이며 하우스도르프 공간이며, 양의 라돈 측도 $\mu$를 갖는다면, $\mathcal{H} \subset L^2(X,\mu) \cap \mathcal{C}(X)$일 경우, 공간 $\mathcal{H}$는 다음 조건을 만족하는 모든 연속적인 $L^2$ 함수 $v$들로 이루어져 있다: $\sum_n \frac{1}{\lambda_n} |\langle v, \phi_n \rangle_{L^2}|^2 < \infty$, 여기서 $\lambda_n$은 $L_\Gamma$의 고유값이다.
• 재생 핵은 스펙트럼 전개 $\Gamma(x,y) = \sum_n \lambda_n \phi_n(x) \overline{\phi_n(y)}$를 가지며, 이 전개가 컴팩트 부분집합에서 절대적이고 균등하게 수렴하는 것은 $\gamma$가 강한 연속성을 갖는 것과 동치이다.
• 측도 $\mu$의 지지집합이 $X$일 경우, $\mathcal{H}$에서 $L^2(X,\mu)$로의 표준 포함 사상 $W: \mathcal{H} \to L^2(X,\mu)$는 $\operatorname{ker} L_\Gamma^\perp$에서 $\mathcal{H}$로 유니터리이며, 이는 $L_\Gamma$의 스펙트럼 분해로부터 $\mathcal{H}$와 $\Gamma$를 완전히 재건할 수 있음을 허용한다.