[논문 리뷰] Results in descriptive set theory on some represented spaces

Mathieu Hoyrup|arXiv (Cornell University)|2017. 12. 11.

Advanced Topology and Set Theory참고 문헌 8인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 기수 집합 이론에서 표현된 공간에 대한 기본적인 제약 조건을 설정하며, 바이어 공간 ℵℕ의 열린 부분집합들의 공간의 Σ⁰₂-부분집합인 특정한 열린 집합들이 보렐 집합이 될 수 없음을 증명하고, 클레인-크라이젤 공간 ℕ⟨α⟩ 또는 바이어 공간에서 이 공간들의 열린 부분집합들로의 연속적 또는 계산 가능한 전성사상이 존재하지 않음을 보여준다. 이러한 결과들은 다가치 함수와 고정점이 없는 함수를 사용한 정교한 대각선 논증 및 캐논라이저블 공간의 개념을 통해 도출된다.

ABSTRACT

Descriptive set theory was originally developed on Polish spaces. It was later extended to $ω$-continuous domains [Selivanov 2004] and recently to quasi-Polish spaces [de Brecht 2013]. All these spaces are countably-based. Extending descriptive set theory and its effective counterpart to general represented spaces, including non-countably-based spaces has been started in [Pauly, de Brecht 2015]. We study the spaces $\mathcal{O}(\mathbb{N}^\mathbb{N})$, $\mathcal{C}(\mathbb{N}^\mathbb{N},2)$ and the Kleene-Kreisel spaces $\mathbb{N}\langleα angle$. We show that there is a $Σ^0_2$-subset of $\mathcal{O}(\mathbb{N}^\mathbb{N})$ which is not Borel. We show that the open subsets of $\mathbb{N}^{\mathbb{N}^\mathbb{N}}$ cannot be continuously indexed by elements of $\mathbb{N}^\mathbb{N}$ or even $\mathbb{N}^{\mathbb{N}^\mathbb{N}}$, and more generally that the open subsets of $\mathbb{N}\langleα angle$ cannot be continuously indexed by elements of $\mathbb{N}\langleα angle$. We also derive effective versions of these results. These results give answers to recent open questions on the classification of spaces in terms of their base-complexity, introduced in [de Brecht, Schröder, Selivanov 2016]. In order to obtain these results, we develop general techniques which are refinements of Cantor's diagonal argument involving multi-valued fixed-point free functions and that are interesting on their own right.

연구 동기 및 목표

• 표현된 공간에서 열린 부분집합들의 기술적 복잡도를 조사하며, 특히 바이어 공간과 클레인-크라이젤 공간과 같은 비가чёт 기반 설정에서의 경우를 다룬다.
• 2016년 [dBSS16]에서 소개된 공간의 기반 복잡도 분류에 대한 열린 질문을 해결하며, 특히 보편적 열린 부분집합의 존재 여부에 초점을 맞춘다.
• 폴란드 공간과 준-폴란드 공간을 넘어서 일반적인 표현된 공간으로 효과적이고 고전적인 기술적 집합 이론을 확장하며, 매개변수화와 열거 가능성에 초점을 맞춘다.
• 연속적 및 계산 가능한 설정 모두에서 불가능성 결과를 증명하기 위한 일반적인 기법을 개발하며, 칸토어의 대각선 논증을 기반으로 한다.
• 특히 마르코프 계산 가능성과 Σ¹ₖ-오라클 열거 가능성의 맥락에서, 열린 부분집합들의 연속적 및 계산 가능한 매개변수화의 한계를 명확히 한다.

제안 방법

• 열린 부분집합들의 위상공간에서 다가치 함수에 대해 칸토어의 대각선 논증을 적응하여, 고정점이 없는 구성 방식을 사용해 보편적 매개변수화의 존재를 반증한다.
• 특히 함수형과 동치 클래스를 다룰 때 발생하는 확장성 문제를 다루기 위해 '캐논라이저블 공간'의 개념을 도입한다.
• 잠재적인 보편적 집합에 대해 대각선화를 가능하게 하는, 열린 부분집합들의 격자에서 고정점이 없는 명시적 다가치 함수를 구성한다.
• 실현자와 표현을 사용하여 위상적 및 계산 이론적 성질을 논리적 클래스(예: Σ⁰₂, Σ¹ₖ)로 변환함으로써, 다양한 공간 간의 비교를 가능하게 한다.
• 계산 가능한 열린 부분집합들의 공간 ℵℕ에 대해 대각선 방법을 적용하여, 이들이 Σ¹ₖ-집합이나 Δ¹ₖ-오라클에서 열거될 수 없다는 것을 보여준다.
• ℵℕ×ℵℕ의 열린 부분집합들의 공간 𝒪(ℵℕ×ℵℕ)가 ℵℕ과 계산적으로 동형임을 증명하며, 이는 ℵℕ에서 ℵℕ로의 계산 가능한 전성사상이 존재할 수 없음을 암시한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 𝒪(ℕℕ)의 Σ⁰₂-부분집합 중 보렐 집합이 아닌 것이 존재하는가?
• RQ2 α ≥ 2일 때, ℕ⟨α⟩에서 ℕ⟨α⟩의 열린 부분집합들을 연속적으로 매개변수화할 수 있는가?
• RQ3 k ≥ 2일 때, ℕ의 Σ¹ₖ-부분집합에서 ℕ⟨k⟩의 계산 가능한 열린 부분집합들을 계산 가능한 열거로 표현할 수 있는가?
• RQ4 ℕ의 마르코프 반결정 가능한 열린 부분집합들은 Σ⁰₃-열거로 표현될 수 있는가?
• RQ5 representation 𝒪(ℕᴹ)의 도메인의 정확한 복잡도는 무엇이며, 이는 매개변수화에 어떤 제약을 끼치는가?

주요 결과

• 𝒪(ℕℕ)의 Σ⁰₂-부분집합 중 보렐 집합이 아닌 것이 존재함을 보여주며, 이는 이 설정에서 보렐 계층이 붕괴하지 않음을 시사한다.
• 각 가산 순서수 α ≥ 2에 대해, ℕ⟨α⟩에서 𝒪(ℕ⟨α⟩)로의 연속적 전성사상이 존재하지 않으며, 따라서 ℕ⟨α⟩-보편적 열린 부분집합은 존재하지 않는다.
• k ≥ 2일 때, ℕ의 어떤 Σ¹ₖ-부분집합에서나 Δ¹ₖ-오라클을 통해 ℕ⟨k⟩의 계산 가능한 열린 부분집합들을 계산적으로 열거할 수 없다.
• ℕᴹ(마르코프 반결정 가능한 집합)의 계산 가능한 열린 부분집합들은 어떤 Σ⁰₃-집합으로도 계산적으로 매개변수화될 수 없으며, 따라서 Σ⁰₃-열거로 표현될 수 없다.
• 𝒪(ℕᴹ × ℕᴹ) 공간이 𝒪(ℕᴹ)과 계산적으로 동형임을 증명하며, 이는 ℕᴹ에서 𝒪(ℕᴹ)로의 연속적 또는 계산 가능한 전성사상이 존재하지 않음을 암시한다.
• 𝒪(ℕᴹ)의 표현의 도메인은 Π⁰₃-집합이며, 따라서 ℕᴹ의 계산 가능한 열린 부분집합들은 Π⁰₃-열거로 표현될 수 있지만, Σ⁰₃-열거로 표현될 수는 없다.