[논문 리뷰] Riccati equations and optimal control of well-posed linear systems

Kalle Mikkola|arXiv (Cornell University)|2016. 02. 27.

Stability and Controllability of Differential Equations참고 문헌 26인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 잘 정의된 선형 시스템에서 리카티 방정식과 최적 제어 간의 연결을 수립하며, 대수적 리카티 방정식의 해가 안정화 피드백 법칙을 유도함을 보여준다. 선형 제곱제어(LQR) 피드백 하에서 닫힌 루프 시스템이 지수 안정성이 있음을 증명하며, 제어 연산자가 적합하고 상태 궤적은 적절한 함수 공간에 속함을 보여준다.

ABSTRACT

We generalize the classical theory on algebraic Riccati equations and optimization to infinite-dimensional well-posed linear systems, thus completing the work of George Weiss, Olof Staffans and others. We show that the optimal control is given by the stabilizing solution of an integral Riccati equation. If the input operator is not maximally unbounded, then this integral Riccati equation is equivalent to the algebraic Riccati equation. Using the integral Riccati equation, we show that for (nonsingular) minimization problems the optimal state-feedback loop is always well-posed. In particular, the optimal state-feedback operator is admissible also for the original semigroup, not only for the closed-loop semigroup (as has been known in some cases); moreover, both settings are well-posed with respect to an external input. This leads to the positive solution of several central, previously open questions on exponential, output and dynamic (aka. "internal") stabilization and on coprime factorization of transfer functions. Our theory covers all quadratic (possibly indefinite) cost functions, but the optimal state feedback need not be well-posed (admissible) unless the cost function is uniformly positive or the system is sufficiently regular.

연구 동기 및 목표

• 잘 정의된 선형 시스템에서 대수적 리카티 방정식의 해와 최적 제어 법칙 간의 동치성을 수립하는 것.
• 리카티 방정식에서 유도된 피드백 제어 법칙이 시스템의 강한 안정화를 보장함을 증명하는 것.
• LQR 피드백 맥락에서 제어 연산자의 적합성과 정칙성 분석하기.
• 상태 궤적 공간을 특성화하고, 닫힌 루프 시스템이 모든 초기 조건에 대해 요구되는 함수 공간에 남아 있음을 검증하는 것.

제안 방법

• 생성자 A와 제어 연산자 B를 갖는 잘 정의된 선형 시스템의 프레임워크를 사용한다.
• 리카티 방정식의 해가 존재하도록 보장하기 위해 초점 제어 조건(Focal Control Condition, FCC)의 개념을 적용한다.
• 피드백 제어 법칙은 u = -M^*Kx로 유도되며, 여기서 K는 대수적 리카티 방정식을 만족한다.
• 닫힌 루프 연산자가 강한 연속 반군을 생성함을 보여줌으로써 안정성을 확립한다.
• 피드백 법칙이 초기 상태를 적합한 제어 공간 L^2(R+; U)로 매핑함을 보여주는 데 의존한다.
• 시스템이 SOS-안정화됨을 보여주며, 이는 상태 궤적이 시간이 지남에 따라 L^2 의미에서 0으로 수렴하고 유계임을 의미한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 대수적 리카티 방정식의 해가 안정화 피드백 제어 법칙을 유도하는 조건는 무엇인가?
• RQ2 초점 제어 조건(FCC)은 리카티 해의 존재성과 정칙성을 어떻게 보장하는가?
• RQ3 리카티 해와 제어 연산자의 적합성 간의 관계는 무엇인가?
• RQ4 LQR 피드백 하에서 닫힌 루프 시스템이 지수 안정성임을 어떻게 증명할 수 있는가?
• RQ5 피드백 법칙 하에서 상태 궤적은 어떤 함수 공간에 속하는가?

주요 결과

• 리카티 방정식에서 유도된 피드백 제어 법칙은 닫힌 루프 시스템이 강한 안정화됨을 보장한다.
• 제어 연산자 M는 적합하며, 이는 모든 초기 상태에서 제어 입력이 L^2(R+; U)에 속함을 의미한다.
• 상태 궤적 x(t)는 리카티 해와 관련된 연산자의 그래프 공간인 X에 속한다.
• 시스템은 SOS-안정화됨을 보여주며, 이는 상태 궤적이 시간이 지남에 따라 L^2 의미에서 0으로 감소함을 의미한다.
• U∗ = Uout 또는 U∗ = Uexp일 경우, 제어 연산자에 대한 필요한 정칙 조건을 충족한다.
• 리카티 방정식의 해 K는 모든 x₀ ∈ H 및 모든 u₀ ∈ L^2(R+; U)에 대해 Kx₀ + Mu₀ ∈ U∗(x₀)임을 보장한다.