[논문 리뷰] Riemann-Roch-Hirzebruch theorem and Topological Quantum Mechanics

Boris Feigin, A. Losev외 1명|ArXiv.org|2004. 01. 28.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 13인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 복소다양체 위의 미분 연산자에 대한 dg 대수의 완비화된 호크시ลด 및 순환 호몰로지에 기반한, 위상적 양자역학을 활용한 리만-로흐-히르체부르크(RRH) 정리의 새로운 유도를 제시한다. 텐서곱에 대한 완비화 절차와 메시 연산을 도입함으로써, 미분 연산자의 초트레이스가 완비화된 순환 호몰로지의 고차 트레이스로부터 유도됨을 보이며, RRH 공식의 적분항이 호몰로지 클래스 위의 고차 트레이스 함수기능의 구성요소로서 자연스럽게 나타남을 밝혀낸다.

ABSTRACT

In the present paper we discuss an independent on the Grothendieck-Sato isomorphism approach to the Riemann-Roch-Hirzebruch formula for an arbitrary differential operator. Instead of the Grothendieck-Sato isomorphism, we use the Topological Quantum Mechanics (more or less equivalent to the well-known constructions with the Massey operations from [KS], [P], [Me]). The statement that the Massey operations can "produce" the integral in some set-up, has an independent from the RRH theorem interest. We finish the paper by some open questions arising when the main construction is applied to the cyclic homology (instead of the Hochschild homology).

연구 동기 및 목표

• 그로텐디크-사토 등식에 의존하지 않는 리만-로흐-히르체부르크 공식의 대안적 유도를 제공하기 위해.
• 위상적 양자역학과 메시 연산을 통해 RRH 정리의 적분항에 물리적 및 대수적 해석을 제공하기 위해.
• 완비화 절차를 통한 호크시ลด 및 순환 호몰로지 재정의를 통한 미분 연산자 위의 트레이스 구조의 일반화를 위해.
• 완비화된 순환 호몰로지의 고차 트레이스의 역할과 특성류 및 오일러 특성수와의 관계를 탐색하기 위해.
• dg 대수의 미분 연산자에 대한 순환 호몰로지의 구조와 고차원에서의 순환 호몰로지에 대한 영향을 탐구하기 위해.

제안 방법

• 복소다양체 위의 전체 헬로모르픽 미분 연산자 대수 위에서 미분 연산자의 초트레이스를 정의한다.
• 미분 연산자의 셰이프의 돌베올 해상에서 dg 대수의 구조를 구성하며, 이를 $\operatorname{Dif}^{\bullet}(\mathcal{E})$로 표기한다.
• 호몰로지 계산이 가능하도록 텐서곱의 완비화 $\widehat{\operatorname{Dif}^{\bullet}(\mathcal{E})^{\otimes k}}$를 도입한다.
• 완비화된 호크시ลด 호몰로지 $\widehat{\mathrm{HH}}_{-k}(\operatorname{Dif}^{\bullet}(\mathcal{E}))$가 $\mathrm{H}^{2n-k}(X,\mathbb{C})$와 동형임을 증명한다. 여기서 $n = \dim_{\mathbb{C}}(X)$이다.
• 완비화된 순환 복합체 $\widehat{\operatorname{Cycl}}_{\bullet}(\operatorname{Dif}^{\bullet}(\mathcal{E}))$를 정의하고, 그 코호몰로지를 $X$의 짝수 차수 코호몰로지 군들의 직합으로 계산한다.
• 완비화된 순환 호몰로지 위에 고차 트레이스 함수기능 $\Upsilon_{2i}$를 구성하며, $\Upsilon_{2i}$는 순환 사이클 위에서 트레이스 공식을 통해 $\mathbb{C}$로 사상된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 리만-로흐-히르체부르크 공식은 그로텐디크-사토 등식에 의존하지 않고도 도출될 수 있는가?
• RQ2 메시 연산과 위상적 양자역학은 RRH 정리의 적분항을 어떻게 자연스럽게 코딩하는가?
• RQ3 완비화된 호크시ลด 및 순환 호몰로지가 초트레이스를 고차 트레이스 함수기능으로 실현하는 데서 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 완비화된 호몰로지에서의 고차 트레이스 $\Im_{-2}$의 성분 $\Im_{-2}^{2n}$이 $\mathrm{H}^{2n-2}(X) \oplus \mathrm{H}^{2n}(X)$ 위에서 적분 함수기능과 상수배로 같아지는가?
• RQ5 $\Im_{-2}^{2n-2} : \mathrm{H}^{2n-2}(X) \to \mathbb{C}$의 기하학적 의미는 무엇이며, 특성류와 관련이 있거나 영이 되는가?

주요 결과

• 완비화된 호크시ลด 호몰로지 $\widehat{\mathrm{HH}}_{-k}(\operatorname{Dif}^{\bullet}(\mathcal{E}))$는 $\mathrm{H}^{2n-k}(X,\mathbb{C})$와 동형이며, 이는 미분 연산자 dg 대수의 호몰로지에 대한 위상적 해석을 제공한다.
• 완비화된 순환 호몰로지 $\mathbb{H}^{-i}(\widehat{\operatorname{Cycl}}_{\bullet}(\operatorname{Dif}^{\bullet}(\mathcal{E})))$는 직합 $\bigoplus_{j \geq 0} \mathrm{H}^{2n-i+2j}(X)$와 동형이며, 이는 고차 트레이스의 풍부한 구조를 드러낸다.
• 초트레이스 $\operatorname{str}(\mathcal{D})$는 완비화된 순환 호몰로지 위의 고차 트레이스 함수기능 $\Upsilon_{2i}$로서 실현되며, 차수 $-2$ 성분 $\Upsilon_2$는 세 개의 연산자 순환곱의 트레이스를 캡처한다.
• 성분 $\Im_{-2}^{2n} : \mathrm{H}^{2n}(X) \to \mathbb{C}$는 적분 함수기능과 비례할 것으로 추측되며, 이는 $[\operatorname{Id} \otimes \operatorname{Id} \otimes \operatorname{Id}]$가 $\mathrm{ch}(E) \cdot \mathrm{Td}(T_X)$의 차수 $2n-2$ 성분으로 사상된다는 사실에 의해 뒷받침된다.
• 성분 $\Im_{-2}^{2n-2} : \mathrm{H}^{2n-2}(X) \to \mathbb{C}$는 일반적으로 영이 아니며, 순환 사이클 $[\mathcal{D}_1 \otimes \mathcal{D}_2 \otimes \mathcal{D}_3]$ 위에서의 값은 순환합 $\sum_{\sigma \in \Sigma_3} (-1)^{\natural(\sigma)} \mathcal{D}_{\sigma(1)} \circ \mathcal{D}_{\sigma(2)} \mathcal{D}_{\sigma(3)}$의 초트레이스로 주어진다.
• $\Im_{-2}^{2n-2}([\operatorname{Id} \otimes \operatorname{Id} \otimes \operatorname{Id}])$의 값은 $\mathrm{Td}(T_X) \cdot \mathrm{ch}(E)$의 차수 $2n-2$ 부분과 같으며, $\Im_{-2}^{2n}$이 적분이라면 RRH 정리에 의해 이 값은 영이 되어야 하므로 깊이 있는 일致 조건이 존재함을 시사한다.