[논문 리뷰] Riemannian geometry of Kahler-Einstein currents II: an analytic proof of Kawamata's base point free theorem

Jian Song|arXiv (Cornell University)|2014. 09. 30.

Geometry and complex manifolds참고 문헌 29인용 수 14

한 줄 요약

이 논문은 리치 흐름, 리만다이나믹의 붕괴, 그리고 $L^2$-추정을 사용하여 카와마타의 기본점 자유 정리에 대한 해석적 증명을 제공하며, 캐논리컬 번들의 빅이고 네프일 경우 프로젝티브 다양체의 캐논리컬 번들의 반-약한 암시성을 확립한다. 주요 기여는 최소 모델의 캐논리컬 모델에 대해 전역 리만 기하학적 구조를 갖는 유일한 특이 켈러-아인슈타인 계량을 구성하는 것으로, 특이 공간에서 코다이라 임bedding 정리에 대한 리만 기하학적 대응을 제공한다.

ABSTRACT

It is proved by Kawamata that the canonical bundle of a projective manifold is semi-ample if it is big and nef. We give an analytic proof using the Ricci flow, degeneration of Riemannian manifolds and $L^2$-theory. Combined with our earlier results, we construct unique singular Kahler-Einstein metrics with a global Riemannian structure on canonical models. Our approach can be viewed as the Kodaira embedding theorem on singular metric spaces with canonical Kahler metrics.

연구 동기 및 목표

• 풍부성 추측을 가정하지 않고, 카와마타의 기본점 자유 정리에 대한 해석적이고 리만 기하학적 증명을 제공하는 것.
• 일반 유형의 최소 모델의 캐논리컬 모델에서 유계된 잠재력과 전역 리만 기하학적 구조를 갖는 고유한 특이 켈러-아인슈타인 계량의 존재를 확립하는 것.
• 카와마타-리치 흐름의 장기적 행동과 특이 켈러-아인슈타인 계량 및 비유사 기하학의 존재를 연결함으로써 분석적 최소 모델 프로그램을 확장하는 것.
• 균일한 지름 유계성과 리치-평탄한 근사화를 통해 칼라비-야우 다양체에서 빅이고 네프인 선다발의 반-약한 암시성을 증명하는 것.

제안 방법

• 빅이고 네프인 캐논리컬 번들을 갖는 프로젝티브 다양체에서 카와마타-리치 흐름에 대한 사전 추정을 적용하는 것.
• 리만 다양체의 붕괴 이론을 사용하여 리치 흐름의 그로모프-하우스도르프 극한을 분석하는 것.
• 특이 계량 공간에서 $\bar\theta$-방정식에 대한 호르마이더의 $L^2$-추정을 사용하여 잠재력 성장 제어하는 것.
• 도널드슨-선의 $H$-조건을 통한 티엔의 부분 $C^0$-추정의 변형을 구현하여 극한 계량을 제어하는 것.
• 균일하게 유계된 지름을 갖는 칼라비-야우 다양체에서 리치-평탄한 켈러 계량의 근사화를 구성하는 것.
• 해석적 절편 성장과 곡률 추정을 사용하여 극한 잠재력 $\varphi_\infty$의 $L^\infty$-유계성을 증명하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 카와마타의 기본점 자유 정리는 순수하게 대수기하학적 방법 외에 해석적이고 기하학적 방법으로 증명될 수 있는가?
• RQ2 일반 유형의 최소 모델에서 카와마타-리치 흐름은 잘 정의된 리만 기하학적 구조를 갖는 특이 켈러-아인슈타인 계량으로 수렴하는가?
• RQ3 균일한 지름 유계성과 $L^2$-추정을 통해 칼라비-야우 다양체에서 빅이고 네프인 선다발의 반-약한 암시성을 확립할 수 있는가?
• RQ4 켈러-아인슈타인 계량을 갖는 캐논리컬 모델의 매끄러운 부분의 계량 완비화의 구조는 어떠한가?
• RQ5 분석적 최소 모델 프로그램과 특이 켈러-아인슈타인 계량을 사용하여 캐논리컬 환의 유한 생성성을 증명할 수 있는가?

주요 결과

• 빅이고 네프일 경우 프로젝티브 다양체 $X$의 캐논리컬 번들 $K_X$는 리치 흐름과 $L^2$-이론을 통해 반-약한 암시성을 갖는다.
• 캐논리컬 모델 $X_{can}$의 매끄러운 부분에 대해 고유한 특이 켈러-아인슈타인 계량 $g_{KE}$가 존재하며, 국소적으로 유계인 잠재력을 갖는 코어로 확장된다.
• $(X_{can}^\circ, g_{KE})$의 계량 완비화는 컴act한 메트릭 길이 공간 $(X_\infty, d_\infty)$로, $X_{can}$과 위상적으로 동형이며, 특이점 집합의 하우스도르프 차원은 최대 $n-4$이다.
• 극한 계량 공간 $(X_\infty, d_\infty)$는 특이점 집합 외부에서 볼록하며, 매끄러운 부분은 $(X_{can}^\circ, g_{KE})$와 등장한다.
• 카와마타의 정리를 가정하지 않고도 극한 잠재력 $\varphi_\infty$에 대한 $L^\infty$-유계성을 확립한다.
• 동일한 방법으로 $c_1(X)=0$인 칼라비-야우 다양체에서 빅이고 네프인 선다발의 반-약한 암시성을, 리치-평탄한 근사화에서 균일한 지름 유계성에 의해 증명한다.