[논문 리뷰] Rigidity of marginally trapped surfaces and the topology of black holes

Gregory J. Galloway|ArXiv.org|2006. 08. 28.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 16인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 고차원 시공간 내의 경계가 외측으로 붕괴하는 표면(MOTS)에 대한 강성 정리를 수립하며, 이러한 표면이 양의 스칼라 곡률를 가진 계량을 갖지 못할 경우, 반드시 리치 평탄하고 에너지-모멘텀 텐서 성분이 0이 되어야 한다는 것을 증명한다. 이 결과는 물리적 조건 하에서 토러스 형태의 경계와 같은 특수한 위상적 구조를 배제하며, 호킹의 위상 정리(3+1차원)를 고차원으로 확장하고, 다섯 차원 블랙홀에서 $S^2 \times S^1$ 경계 위상이 물리적으로 일관됨을 확인한다.

ABSTRACT

In a recent paper (gr-qc/0509107) the author and Rick Schoen obtained a generalization to higher dimensions of a classical result of Hawking concerning the topology of black holes. It was proved that, apart from certain exceptional circumstances, cross sections of the event horizon, in the stationary case, and 'weakly outermost' marginally outer trapped surfaces, in the general case, in black hole spacetimes obeying the dominant energy condition, are of positive Yamabe type. This implies many well-known restrictions on the topology, and is consistent with recent examples of five dimensional stationary black hole spacetimes with horizon topology $S^2 imes S^1$. In the present paper, we rule out for 'outermost' marginally outer trapped surfaces, in particular, for cross sections of the event horizon in stationary black hole spacetimes, the possibility of any such exceptional circumstances (which might have permitted, e.g., toroidal cross sections). This follows from the main result, which is a rigidity result for marginally outer trapped surfaces that are not of positive Yamabe type.

연구 동기 및 목표

• 경계가 외측으로 붕괴하는 표면(MOTS)의 기하적 제약 조건을 분석하여 호킹의 고전적 블랙홀 위상 정리를 고차원으로 확장하는 것.
• 물리적으로 타당한 에너지 및 곡률 조건 하에서, 토러스와 같은 위상을 허용할 수 있는 비양의 야마베 유형 경계와 같은 예외적 케이스를 제거하는 것.
• 최소 표면에 대한 강성 정리의 시공간 버전을 수립하여, 음의 또는 0인 야마베 유형 MOTS는 반드시 리치 평탄하고 에너지-모멘텀 텐서 성분이 0이 되어야 한다는 것을 증명하는 것.

제안 방법

• 경계가 외측으로 붕괴하는 표면(MOTS)을 정의하기 위해 영향을 주는 영향의 제2 기본형식과 영향의 전개 스칼라 $\theta_\pm$ 를 사용하며, 여기서 $\theta_+=0$ 이다.
• 주어진 에너지 조건 하에서 빛의 직선 군열에 대한 레이차우두리 방정식을 적용하여, 표면의 변형에 따라 $\theta_+$ 의 행동을 제어한다.
• MOTS $\Sigma$ 를 포함하는 시공간 초표면 $\tilde{V}$ 의 층화를 구성하며, 평균 곡률 $\tilde{\tau} \leq 0$ 이 되도록 하여 약한 외측 최외각 조건을 유지한다.
• 표면의 약한 외측 최외각 조건을 수정하여, $\theta_+(t) \leq 0$ 인 일련의 $\Sigma_t$ 를 이용해 국소적 MOTS 층화의 존재를 보장한다.
• MOTS의 안정성과 관련된 선형 타원형 연산자 $\tilde{L}_t$ 와 그 최소 고유값 $\lambda_1(\tilde{L}_t)$ 를 분석하여 곡률 제약 조건을 도출한다.
• 에너지-모멘텀 항 $P = \mathcal{T}(Z,K) - \theta\tau + \frac{1}{2}\theta^2 + \frac{1}{2}|\chi|^2 \geq 0$ 의 비음성 조건을 이용하여 $\chi_t = 0$, $\Sigma_t$ 는 리치 평탄하고 $\mathcal{T}(Z,K) = 0$ 이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고차원 시공간 내 경계가 외측으로 붕괴하는 표면의 위상은 양의 야마베 유형 조건 이외에도, 특히 양의 스칼라 곡률를 가진 계량이 존재하지 않을 경우에 제한될 수 있는가?
• RQ2 어떤 물리적 조건 하에서 토러스 형태의 경계와 같은 예외적 위상이 블랙홀 사건의 경계에서 배제될 수 있는가?
• RQ3 최소 표면에 대한 강성 정리의 시공간 버전이 MOTS에 적용될 수 있는가? 특히 표면이 양의 스칼라 곡률를 갖지 못할 경우에 대해.
• RQ4 곡률 및 에너지 조건 하에서 국소적 MOTS 층화를 전역적으로 확장할 수 있는가? 이는 경계의 기하학에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 제2 기본형식과 에너지-모멘텀 텐서 성분 $\mathcal{T}(Z,K)$ 가 경계에서 0이 되면, 기하학적 및 위상적 특성에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 경계가 외측으로 붕괴하는 표면(MOTS)이 양의 스칼라 곡률를 가진 계량을 갖지 못할 경우, 그 제2 기본형식 $\chi$ 는 식별적으로 0이 되며, 이는 표면이 완전히 등주적임을 의미한다.
• MOTS는 리치 평탄하며, 표면 전역에서 내재된 리치 곡률이 항상 0이다.
• 에너지-모멘텀 텐서 성분 $\mathcal{T}(Z,K)$ 는 MOTS 전역에서 0이 되며, 이는 외측 빛의 정규 방향으로 에너지 흐름이 없음을 나타낸다.
• 이 결과는 정적 블랙홀 시공간 내에서 음의 또는 0인 야마베 유형 경계의 가능성을 배제하며, 이로 인해 토러스와 같은 위상이 제거된다.
• 분석 결과, 다섯 차원 블랙홀에서 $S^2 \times S^1$ 경계 위상은 주어진 에너지 조건과 예외적 케이스의 부재 조건 하에서 물리적으로 일관됨을 확인한다.
• 강성 결과는 호킹의 원래 3+1차원 위상 정리를 고차원으로 확장하여, 물리적 조건 하에서 양의 야마베 유형 경계만 허용됨을 보여준다.