[논문 리뷰] Riordan arrays, orthogonal polynomials as moments, and Hankel transforms

Paul Barry|arXiv (Cornell University)|2011. 02. 04.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 19인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 레지안드르 다항식과 에르미트 다항식이 매개변수화된 리오르단 행렬을 통해 다른 수직다항식의 모멘트 수열로 해석될 수 있음을 보여줌으로써, 리오르단 행렬, 수직다항식, 하 Hankel 변환 간의 연결 고리를 설정한다. 주요 기여는 이러한 행렬의 삼중대각 구조를 활용하여 하 Hankel 변환을 계산하는 방법을 제시하는 것이다.

ABSTRACT

Taking the examples of Legendre and Hermite orthogonal polynomials, we show how to interpret the fact that these orthogonal polynomials are moments of other orthogonal polynomials in terms of their associated Riordan arrays. We use these means to calculate the Hankel transforms of the associated polynomial sequences.

연구 동기 및 목표

• 이스마일과 스탠튼의 수직다항식 관련 결과를 리오르단 행렬 이론을 활용해 모멘트로 재해석하는 것.
• 리오르단 행렬의 생산 행렬이 삼중대각임과 동시에 그 행렬이 수직다항식의 가족을 정의하는 것의 필요충분조건임을 보여주는 것.
• 이러한 수직다항식의 모멘트가 리오르단 행렬의 첫 번째 열에 나타남을 보여주는 것.
• 레지안드르 및 에르미트 다항식 수열의 하 Hankel 변환을 그들의 리오르단 행렬 표현을 통해 계산하는 것.
• 생성함수, 모멘트 수열, 하 Hankel 변환 간의 통합된 프레임워크를 제공하는 것.

제안 방법

• 모멘트 수열의 생성함수인 g(x)를 갖는 리오르단 행렬 (g, f)을 사용하여 수직다항식을 모멘트로 표현하는 것.
• 리오르단 행렬 (g, f)의 역행렬 (g, f)−1을 이용해 그 생산 행렬을 통해 관련 수직다항식을 생성하는 것.
• 리오르단 행렬의 생산 행렬이 삼중대각임과 동시에 그 행렬이 수직다항식의 가족을 생성하는 것의 필요충분조건임을 증명하는 것.
• 스틸체스 변환 및 생성함수 기법을 사용하여 모멘트 수열과 그 측도 및 밀도 함수 간의 관계를 설정하는 것.
• 생성함수의 연분수 전개를 활용하여 하 Hankel 변환 공식을 도출하는 것.
• 기존의 연분수 생성함수를 갖는 수열의 하 Hank엘 변환 결과(예: 식 16)를 활용하여 정확한 표현식을 도출하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 레지안드르 및 에르미트 다항식은 리오르단 행렬을 통해 어떻게 다른 수직다항식의 모멘트 수열로 해석될 수 있는가?
• RQ2 리오르단 행렬이 수직다항식의 가족을 생성하기 위해 만족해야 할 조건은 무엇인가?
• RQ3 일반적으로 수열의 하 Hankel 변환은 그에 관련된 리오르단 행렬의 구조와 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ4 모멘트 수열의 생성함수는 스틸체스 변환을 통해 측도를 복원하는 데 사용될 수 있는가?
• RQ5 레지안드르 및 에르미트 다항식 수열의 하 Hankel 변환의 명시적 형태는 매개변수 r에서 평가했을 때 어떻게 되는가?

주요 결과

• 레지안드르 다항식 $ He_n(r) $ 는 삼중대각 생산 행렬을 갖는 리오르단 행렬 $ \big(e^{-rx + x^2/2}, x\big) $ 의 계수 행렬로 나타나는 수직다항식의 모멘트이다.
• 수열 $ He_n(r) $ 의 하 Hankel 변환은 $ (-1)^{\binom{n+1}{2}} \big( \textstyle\bigcup_{k=0}^{n} k! \big) $ 로 표현되며, 이는 모멘트의 연분수 생성함수로부터 유도된다.
• 에르미트 다항식 $ H_n(r) $ 는 삼중대각 생산 행렬을 갖는 계수 행렬 $ \big(e^{2rx - x^2}, x\big) $ 를 갖는 수직다항식의 모멘트이다.
• 수열 $ H_n(r) $ 의 하 Hankel 변환은 $ (-1)^{\binom{n+1}{2}} \big( \textstyle\bigcup_{k=0}^{n} 2^k k! \big) $ 로 표현되며, 이는 생성함수의 연분수 전개를 통해 도출된다.
• 리오르단 행렬 $ (g,f) $ 의 생산 행렬이 삼중대각임과 동시에 $ (g,f)^{-1} $ 이 수직다항식의 가족을 생성하는 것의 필요충분조건이다.
• 리오르단 행렬 $ (g,f) $ 의 첫 번째 열의 생성함수 $ g(x) $ 는 관련 수직다항식 가족의 모멘트 생성함수에 해당한다.