[논문 리뷰] Robust analytic continuation of Green's functions via projection, pole estimation, and semidefinite relaxation

Zhen Huang, Emanuel Gull외 1명|arXiv (Cornell University)|2022. 10. 09.

Control Systems and Identification인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 양자 many-body 시스템에서 그린 함수의 강건한 해석적 연속을 위한 투영-추정-반정형여백 완화(PES) 방법을 제안한다. 노이즈가 있는 마츠부라 데이터를 인과성 공간으로 투영하고, AAA 알고리즘을 통해 극의 위치를 추정하며, 반정형여백 완화 피팅을 수행함으로써 PES는 이중 정밀도 산술만을 사용하여 노이즈에 강건하고 정확한 스펙트럼 함수 복원이 가능해지며, 특히 페르미온 및 보스온 시스템에서의 날카러운 특징을 잘 복원한다.

ABSTRACT

Green's functions of fermions are described by matrix-valued Herglotz-Nevanlinna functions. Since analytic continuation is fundamentally an ill-posed problem, the causal space described by the matrix-valued Herglotz-Nevanlinna structure can be instrumental in improving the accuracy and in enhancing the robustness with respect to noise. We demonstrate a three-pronged procedure for robust analytic continuation called PES: (1) Projection of data to the causal space. (2) Estimation of pole locations. (3) Semidefinite relaxation within the causal space. We compare the performance of PES with the recently developed Nevanlinna and Carathéodory continuation methods and find that PES is more robust in the presence of noise and does not require the usage of extended precision arithmetics. We also demonstrate that a causal projection improves the performance of the Nevanlinna and Carathéodory methods. The PES method is generalized to bosonic response functions, for which the Nevanlinna and Carathéodory continuation methods have not yet been developed. It is particularly useful for studying spectra with sharp features, as they occur in the study of molecules and band structures in solids.

연구 동기 및 목표

• 노이즈가 있는 마츠부라 데이터에 대해 양자 many-body 시스템에서 해석적 연속의 기본적인 불안정성 문제를 해결한다.
• MaxEnt, Padé, Nevanlinna/Carathéodory 접근법과 같은 기존 방법의 한계를 극복한다. 이러한 방법들은 노이즈에 취약하거나 인과성 위반을 일으키며, 확장 정밀도 산술을 요구한다.
• 행렬 값 Herglotz-Nevanlinna 구조를 통해 인과성을 유지하면서 노이즈에 강건하고, 대각 및 비대각 그린 함수 성분 모두에 적용 가능한 방법을 개발한다.
• Nevanlinna 및 Carathéodory 방법이 아직 일반화되지 않은 보스온 반응 함수에 대해 인과적 해석적 연속의 적용 범위를 확장한다.
• 노이즈가 있는 유한온도 데이터로부터 분자의 및 고체의 밴드 구조와 날카로운 피크와 같은 스펙트럼 특징을 고정밀도로 복원할 수 있도록 한다.

제안 방법

• 행렬 값 Herglotz-Nevanlinna 구조를 강제하는 투영 연산자를 사용하여 노이즈가 있는 마츠부라 데이터를 인과성 공간으로 투영함으로써 물리적 일관성을 확보한다.
• 투영된 데이터에 적응형 Antoulas–Anderson (AAA) 알고리즘을 적용하여 복소 평면상의 극 위치를 추정함으로써 스펙트럼 특징에 대한 강건한 初기 추정치를 제공한다.
• 이중 최적화 프레임워크를 통해 반정형여백 완화(SDR) 피팅을 수행하여 인과성 공간 내에서 그린 함수를 재구성함으로써 데이터 오차를 최소화하면서 해석적 구조를 유지한다.
• 그린 함수를 행렬 값 Herglotz-Nevanlinna 표현식으로 매개변수화하여 인과성과 스펙트럼 함수의 준정부정성(positive semidefiniteness)을 보장한다.
• 보스온 시스템으로의 적용을 위해 인과성 공간 정의를 수정하여 상반평면의 극을 允許함으로써 페르미온 시스템을 초월한 적용 가능성을 확보한다.
• 모듈러 방식으로 방법을 구현하여 각 단계(투영, 극 추정, SDR)를 별도로 사용할 수 있도록 하여 다른 해석적 연속 방법의 강건성 향상에 기여한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 투영, 극 추정, 반정형여백 완화를 조합한 3단계 절차가 확장 정밀도 산술을 요구하지 않고 노이즈가 있는 마츠부라 그린 함수의 강건한 해석적 연속을 달성할 수 있는가?
• RQ2 인과성 투영이 노이즈 상황에서 Nevanlinna 및 Carathéodory 연속 방법의 안정성과 정확도를 어느 정도 향상시키는가?
• RQ3 PES 프레임워크는 아직 개발되지 않은 보스온 반응 함수로 일반화될 수 있는가?
• RQ4 다양한 노이즈 수준에서 실재 물질인 실리콘과 AgI에서 PES가 밴드 갭과 반바퀴 특이점(van Hove singularities)과 같은 날카로운 스펙트럼 특징을 얼마나 잘 복원하는가?
• RQ5 MaxEnt 및 Padé 방법과 비교해 볼 때, PES는 다수의 특징과 고주파 성분을 포함한 스펙트럼 함수 재구성에서 어떤 성능을 보이는가?

주요 결과

• PES 방법은 확장 정밀도 산술(128비트 이상)을 요구하는 Nevanlinna 및 Carathéodory 방법과는 달리 이중 정밀도 산술만으로도 노이즈가 있는 마츠부라 데이터의 해석적 연속을 성공적으로 수행한다.
• 노이즈 수준이 높은 σ = 10⁻²에서도 실리콘과 AgI의 밴드 구조와 밴드 갭을 정확히 복원하여 높은 노이즈에 대한 강건성을 입증한다.
• 단지 인과성 투영만으로도 Nevanlinna 및 Carathéodory 방법의 성능이 크게 향상되어 노이즈 상황에서도 음의 스펙트럼 함수 성분(비인과적 결과)을 줄이는 데 기여한다.
• PES 방법은 분자의 시스템과 고체 상태 밴드 구조에서의 날카로운 특징을 MaxEnt 및 Padé 방법보다 더 정확하게 재구성하며, 특히 다중 피크를 해석하는 데서 뛰어난 성능을 보인다.
• 이 방법은 페르미온 및 보스온 시스템 모두에 적용 가능하며, 보스온 반응 함수의 경우 상반평면의 극을 允許하도록 인과성 공간의 공식화를 일반화하였다.
• 투영된 데이터에 적용된 AAA 알고리즘은 극 위치의 안정적이고 정확한 초기 추정치를 제공하여 SDR 피팅 단계의 수렴성과 강건성을 크게 향상시킨다.