[论文解读] Robust cycles and tangencies of large codimension

Pablo G. Barrientos, Artem Raibekas|arXiv (Cornell University)|Sep 17, 2015

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 40被引用 4

一句话总结

本文利用一种新方法，在具有任意余指标的偏双曲微分同胚中构造了 $C^1$-鲁棒环路，该方法同时在维度 $d \geq 4$ 下生成了高余维的 $C^2$-鲁棒同宿、等维及异维切触。该方法可推广至辛微分同胚，为高维辛动力系统中的鲁棒非双曲性提供了新机制。

ABSTRACT

We construct partially hyperbolic diffeomorphisms having semi-local robustly transitive sets with $C^1$-robust cycles of any co-index. These constructions also provide a new method to create $C^2$-robust homoclinic, equidimensional and heterodimensional tangencies of large codimension in dimension $d\geq 4$. The method to generate robust homoclinic and equidimensional tangencies also works in the symplectic setting. Thus, these are mechanisms for the robust non-hyperbolicity of symplectomorphisms in higher dimension.

研究动机与目标

• 构造具有 $C^1$-鲁棒传递集的偏双曲微分同胚，其表现出任意余指标的环路。
• 开发一种新技术，用于在维度 $d \geq 4$ 下生成高余维的 $C^2$-鲁棒切触——包括同宿、等维及异维切触。
• 将该方法推广至辛设定，证明高维辛同胚中存在鲁棒非双曲性。
• 为高维动力系统中超越经典双曲框架的鲁棒非双曲性提供机制。

提出的方法

• 该构造依赖于一种新颖的几何技术，用于在具有任意余指标的偏双曲微分同胚中设计鲁棒环路。
• 通过控制扰动以保持偏双曲结构中的双曲性，该方法确保了所得集合的 $C^1$-鲁棒传递性。
• 对于 $C^2$-鲁棒切触，该方法通过操控动力系统，实现稳定与不稳定流形的横截相交，且具有高余维。
• 通过在扰动过程中保持辛形式，该方法被调整以适用于辛微分同胚，确保鲁棒切触保留在辛类中。
• 通过利用周期轨道及其不变流形附近的局部动力系统，强制实现鲁棒环路的形成。
• 该方法具有足够的通用性，可在高余维下生成不仅限于同宿切触的等维与异维切触。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否利用一种新几何方法在偏双曲微分同胚中构造任意余指标的鲁棒环路？
• RQ2 该方法能否在维度 $d \geq 4$ 下生成高余维的 $C^2$-鲁棒切触？
• RQ3 该方法是否可推广至辛设定，从而在辛同胚中产生鲁棒非双曲性？
• RQ4 该技术能否在 $C^2$-拓扑下鲁棒地生成不仅限于同宿切触，还包括等维与异维切触？
• RQ5 此类鲁棒切触对高维非双曲动力系统的分类具有何种影响？

主要发现

• 本文在具有任意余指标传递集的偏双曲微分同胚中构造了 $C^1$-鲁棒环路。
• 提出了一种新方法，可在维度 $d \geq 4$ 下生成高余维的 $C^2$-鲁棒同宿、等维及异维切触。
• 该方法适用于辛微分同胚，为辛范畴中的鲁棒非双曲性建立了新机制。
• 通过保持辛结构的受控扰动，实现了高余维的鲁棒切触。
• 构造结果表明，即使在四维或更高维的辛系统中，非双曲行为也可具有鲁棒性。
• 该结果将对鲁棒非双曲性的理解从经典例子拓展至新领域，为高维动力系统提供了新工具。