[논문 리뷰] Robust estimation in time series with long and short memory properties

Valdério Anselmo Reisen, Fabio Fajardo Molinares|arXiv (Cornell University)|2011. 12. 29.

Financial Risk and Volatility Modeling참고 문헌 28인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 추가적 외포값(Additive Outliers)으로 인한 편향을 줄이기 위해 강력한 자코리션 함수를 사용하여 ARFIMA 모델에서 분수 차분 파라미터 $d$에 대한 강력한 추정 방법을 제안한다. 이는 외포값에 강건하며, 1차 차분에 대해 불변성을 유지하며, 외포값이 존재하는 유한 표본에서 고전적 GPH 추정보다 훨씬 낮은 편향과 평균제곱오차를 유지함을 보여준다.

ABSTRACT

This paper reviews recent developments of robust estimation in linear time series models, with short and long memory correlation structures, in the presence of additive outliers. Based on the manuscripts Fajardo et al. (2009) and Lévy-Leduc et al. (2011a), the emphasis in this paper is given in the following directions; the influence of additive outliers in the estimation of a time series, the asymptotic properties of a robust autocovariance function and a robust semiparametric estimation method of the fractional parameter d in ARFIMA(p, d, q) models. Some simulations are used to support the use of the robust method when a time series has additive outliers. The invariance property of the estimators for the first difference in ARFIMA model with outliers is also discussed. In general, the robust long-memory estimator leads to be outlier resistant and is invariant to first differencing.

연구 동기 및 목표

• ARFIMA 모델에서 분수 차분 파라미터 $d$의 추정에 대해 추가적 외포값이 미치는 영향을 조사한다.
• 단기 및 장기 기억 상관 구조를 가진 시간열에서 강력한 자코리션 함수의 점근적 성질을 검토한다.
• 추가적 외포값에 강건한 강력한 반모수적 $d$ 추정기법을 개발하고 평가한다.
• ARFIMA 모델에서 1차 차분에 대한 강력한 추정기의 불변성 성질을 평가한다.
• 모의 실험과 브라질 IGP-DI 인플레이션 데이터에 대한 실제 응용을 통해 강력한 방법의 실용적 유용성을 입증한다.

제안 방법

• Lévy-Leduc 등(2011a)의 기반 강력한 자코리션 함수를 사용하여 극단적 값의 영향을 감소시킨다.
• 강력한 자코리션 함수를 사용해 영역 주변의 주파수에서 스펙트럼 밀도를 추정함으로써 $d$의 강력한 반모수적 추정을 가능하게 한다.
• 강력한 스펙트럼 밀도 추정치를 사용해 Geweke-Porter-Hudak(GPH) 방법을 적용하여 $d$-추정치를 계산한다.
• 대역폭 선택을 위해 $m' = n^\alpha$를 사용하며, $\alpha \in \{0.5, 0.6, 0.7, 0.8\}$로 설정하여 다양한 스무딩 수준에서의 강건성 평가를 수행한다.
• 모의 및 실제 데이터에서 고전적 GPH와 강력한 GPH 추정기(GPHR_P, GPHR_TH, GPHR_B, GPHR)를 비교한다.
• 외포값으로 의심되는 데이터를 표본 평균으로 대체하는 데이터 변환을 적용하여 추정기의 민감도를 평가한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 추가적 외포값은 분수 차분 파라미터 $d$에 대한 고전적 GPH 추정기의 편향과 평균제곱오차(MSE)에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ2 단기 및 장기 기억 시간열에서 강력한 자코리션 함수의 점근적 성질은 무엇인가?
• RQ3 강력한 $d$ 추정기는 ARFIMA 모델에서 1차 차분에 대해 불변성을 가지는가?
• RQ4 외포값이 존재하는 유한 표본에서 강력한 추정기는 고전적 GPH 추정기보다 어떻게 성능을 발휘하는가?
• RQ5 실제 데이터에서 잠재적 외포값이 존재할 경우, 다양한 대역폭에서 강력한 추정은 안정적이고 신뢰할 수 있는 $d$-추정치를 제공하는가?

주요 결과

• 고전적 GPH 추정기는 외포값에 매우 민감하다: $n=300$일 때 MSE는 수정된 자료에서 0.0117에서 원본 자료에서 0.1211로 증가하여 심각한 편향이 있음을 시사한다.
• 강력한 GPHR 추정기는 대역폭에 관계없이 안정적인 추정치를 유지한다; $n=800$일 때 원본 자료의 MSE는 0.0042, 수정된 자료는 0.0544로, 외포값에 강건함을 보여준다.
• IGP-DI 응용 분석에서 고전적 GPH 추정치는 원본 자료에서 $\alpha=0.5$일 때 0.0757에서 $\alpha=0.8$일 때 0.3759로 크게 변화하는 반면, 강력한 추정기는 일관성을 유지한다.
• 강력한 추정기(예: $d_{GPHR_{TH}}$)는 원본 및 수정된 자료에서 모두 대역폭에 관계없이 유사한 추정치를 제공하여 안정성과 강건성을 확인한다.
• 모의 실험을 통해 강력한 추정기는 1차 차분에 대해 불변성을 보이며, 차분 이전과 이후의 $d$-추정치가 일관됨을 입증하였다.
• 강력한 방법은 편향과 MSE를 크게 감소시킨다: $n=300$일 때 편향은 고전적 방법의 0.3230에서 강력한 방법의 0.0273으로 감소하고, MSE는 0.1211에서 0.0127로 감소한다.