[논문 리뷰] Robust preconditioning for stochastic Galerkin formulations of parameter-dependent linear elasticity equations

Arbaz Khan, Catherine E. Powell외 1명|arXiv (Cornell University)|2018. 03. 05.

Probabilistic and Robust Engineering Design참고 문헌 9인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 불확실한 에너지 모odulus를 가진 매개변수에 의존하는 선형 탄성 문제에 대해 세 필드 혼합 스토케스틱 갈레르킨 유한요소 형식을 제안하며, MINRES를 위한 새로운 조절자(preconditioner)를 통해 결과로 생기는 대규모 비정칙 선형 시스템을 안정적으로 해결할 수 있도록 한다. 주요 기여는 메esh 크기와 푸아송 비율에 영향을 받지 않는 고유값 경계를 확보하여 수렴의 안정성을 보장한다는 점이다.

ABSTRACT

We consider the nearly incompressible linear elasticity problem with an uncertain spatially varying Young's modulus. The uncertainty is modelled with a finite set of parameters with prescribed probability distribution. We introduce a novel three-field mixed variational formulation of the PDE model and discuss its approximation by stochastic Galerkin mixed finite element techniques. First, we establish the well posedness of the proposed variational formulation and the associated finite-dimensional approximation. Second, we focus on the efficient solution of the associated large and indefinite linear system of equations. A new preconditioner is introduced for use with the minimal residual method (MINRES). Eigenvalue bounds for the preconditioned system are established and shown to be independent of the discretisation parameters and the Poisson ratio. The S-IFISS software used for computation is available online.

연구 동기 및 목표

• 스토케스틱 갈레르킨 이산화에 의해 발생하는 대규모 비정칙 선형 시스템을 해결하는 데 있어 수치적 과제를 해결하기 위해.
• 불확실한 재료 특성을 가진 거의 불압축성 탄성 문제에 대해 안정적이고 잘 정의된 세 필드 혼합 변분 형식을 개발하기 위해.
• 메쉬 이산화 파라미터와 푸아송 비율에 영향을 받지 않는 MINRES 반복의 수렴을 보장하는 조절자를 설계하기 위해.
• 조절된 시스템의 이론적 고유값 경계를 확립하여 수치적 안정성과 효율성을 보장하기 위해.
• 재현 가능성과 더 넓은 적용을 위해 S-IFISS를 통해 오픈소스 구현을 제공하기 위해.

제안 방법

• 변위, 응력, 혼합 변수를 포함하는 세 필드 혼합 변분 형식을 도입하여 거의 불압축성 영역에서의 안정성을 확보한다.
• 스토케스틱 갈레르킨 유한요소 방법을 적용하여 약한 형태를 근사화함으로써 대규모 사다리꼴 선형 시스템을 도출한다.
• MINRES 반복 해법에 특화된 새로운 조절자를 구축하여 수렴의 강건성을 향상시킨다.
• 조절된 시스템의 고유값에 대한 이론적 경계를 유도하여 메쉬 크기와 푸아송 비율에 독립적임을 보여준다.
• 수치적 구현과 제안된 방법의 검증을 위해 S-IFISS 소프트웨어 프레임워크를 사용한다.
• 주어진 확률 분포 하에 공간적으로 변화하는 에너지 모odulus를 가진 벤치마크 문제에서 방법을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 불확실한 에너지 모odulus를 가진 매개변수에 의존하는 선형 탄성 문제에 대해 안정적인 세 필드 혼합 형식을 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ2 스토케스틱 갈레르킨 시스템이 잘 정의되고 효율적으로 해석될 수 있는 조건은 무엇인가?
• RQ3 메쉬 세분화와 푸아송 비율에 대해 수렴이 강건한 조절자를 설계할 수 있는가?
• RQ4 조절된 시스템에 대해 어떤 이론적 고유값 경계를 설정할 수 있으며, 이 경계가 핵심 파라미터에 독립적인가?
• RQ5 기존의 스토케스틱 탄성 문제 접근법에 비해 제안된 방법은 효율성과 강건성 측면에서 어떻게 비교되는가?

주요 결과

• 제안된 세 필드 혼합 변분 형식은 잘 정의되어 있으며, 스토케스틱 탄성 문제의 유한차원 근사에서 안정성을 보장한다.
• 결과로 얻어진 선형 시스템은 대규모 비정칙 시스템이며, 스토케스틱 매개변수를 가진 혼합 유한요소 이산화의 일반적인 특징이다.
• 새로운 조절자는 조절된 시스템의 조건수(condition number)가 메쉬 크기와 푸아송 비율에 관계없이 유한하게 유지됨을 보장한다.
• 조절된 시스템에 대한 이론적 고유값 경계가 확립되었으며, 이 경계는 이산화 및 재료 파라미터에 대해 강건함이 입증되었다.
• S-IFISS 소프트웨어 프레임워크는 공개되어 있어 재현 가능성과 다른 스토케스틱 PDE 문제로의 방법 확장이 가능하다.
• 수치 실험 결과는 다양한 매개변수 설정과 메쉬 세분화에서 조절된 MINRES 솔버의 강건성이 확인되었다.