[논문 리뷰] Robust PT symmetry of two-dimensional fundamental and vortex solitons supported by spatially modulated nonlinearity

Eitam Luz, Vitaly Lutsky외 2명|arXiv (Cornell University)|2019. 02. 19.

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 공간적으로 변조된 비선형성과 복소 이득-손실 포텐셜을 갖는 이중차원 비선형 슈뢰딩거 모델을 제안하며, 임의로 큰 이득-손실 계수에서도 붕괴되지 않는 강력한 $π\mathcal{T}$ 대칭성을 보여준다. 기본 및 비틀림 솔리톤에 대한 정확한 해를 유도하고, $π\mathcal{T}$ 대칭 및 비-$π\mathcal{T}$ 대칭 모델에서 연속적인 솔리톤 가닥의 안정성을 확립하며, 비선형 자기구속 모드를 통해 선형 시스템을 초월한 $π\mathcal{T}$ 대칭 개념을 확장한다.

ABSTRACT

The real spectrum of bound states produced by PT-symmetric Hamiltonians usually suffers breakup at a critical value of the strength of gain-loss terms, i.e., imaginary part of the complex potential. On the other hand, it is known that the PT-symmetry can be made unbreakable in a one-dimensional (1D) model with self-defocusing nonlinearity whose strength grows fast enough from the center to periphery. The model is nonlinearizable, i.e., it does not have a linear spectrum, while the (unbreakable) PT symmetry in it is defined by spectra of continuous families of nonlinear self-trapped states (solitons). Here we report results for a 2D nonlinearizable model whose PT symmetry remains unbroken for arbitrarily large values of the gain-loss coeffcient. Further, we introduce an extended 2D model with the imaginary part of potential ~ xy in the Cartesian coordinates. The latter model is not a PT-symmetric one, but it also supports continuous families of self-trapped states, thus suggesting an extension of the concept of the PT symmetry. For both models, universal analytical forms are found for nonlinearizable tails of the 2D modes, and full exact solutions are produced for particular solitons, including ones with the unbreakable PT symmetry, while generic soliton families are found in a numerical form. The PT-symmetric system gives rise to generic families of stable single- and double-peak 2D solitons (including higher-order radial states of the single-peak solitons), as well as families of stable vortex solitons with winding numbers m = 1, 2, and 3. In the model with imaginary potential ~ xy, families of single-and multi-peak solitons and vortices are stable if the imaginary potential is subject to spatial confinement. In an elliptically deformed version of the latter model, an exact solution is found for vortex solitons with m = 1.

연구 동기 및 목표

• 공간적으로 변조된 비선형성과 복소 이득-손실 항을 갖는 비선형화 가능한 시스템에서 이중차원 솔리톤의 존재성과 안정성을 조사하는 것.
• 연속적인 비선형 자기구속 상태의 가닥을 분석하여 선형 스펙트럼을 초월한 $π\mathcal{T}$ 대칭 개념을 확장하는 것.
• 이중차원 설정에서 이득-손실 계수가 임의로 클 경우에도 $π\mathcal{T}$ 대칭성이 붕괴되지 않음을 보여주는 것.
• 공간적으로 국한된 허수 포텐셜을 갖는 $π\mathcal{T}$ 대칭 및 비-$π\mathcal{T}$ 대칭 모델에서 기본 및 비틀림 솔리톤의 안정성과 구조를 탐구하는 것.
• 복잡한 비에르미트, 비선형 시스템에서 정확하고 안정적인 솔리톤 해를 구성하기 위한 수치적 및 분석적 방법을 개발하는 것.

제안 방법

• 정적 상태는 공간적으로 변조된 비선형성과 복소 포텐셜을 갖는 비선형 슈뢰딩거 방정식에 뉴턴 공액 기울기 방법을 적용하여 계산한다.
• 안정성 분석을 위한 선형화된 고유값 문제의 수치적 해법으로 스펙트럼 콜로케이션 방법을 사용하며, 편미분 분석은 선형화된 시스템의 고유값 $Γ$를 통해 수행한다.
• 시간 진동수의 직접 시뮬레이션은 작은 단계 크기 $\Delta z = 10^{-5}$를 갖는 스플릿-스텝 푸리에 방법을 사용하여, 이국적인 비선형성과 이득-손실 프로파일이 존재하는 상황에서도 정확도를 확보한다.
• 비선형성 계수 $\Sigma(r)$는 반경 방향으로 증가하여 시스템을 비선형화 가능하게 만들며, 이로 인해 $π\mathcal{T}$ 대칭성이 붕괴되지 않도록 한다.
• 두 가지 다른 허수 포텐셜 프로파일을 고려한다: 하나는 $W(x,y) \sim x^2 - y^2$ (표준 $π\mathcal{T}$-대칭)이고, 다른 하나는 $W(x,y) \sim xy$ (비-$π\mathcal{T}$-대칭이지만 여전히 안정적인 솔리톤을 지지함).
• 2차원 솔리톤의 비선형화 가능한 尾를 위한 일반적인 해석적 형태를 유도하고, 특정 솔리톤 상태(예: $m=1,2,3$인 비틀림 솔리톤 포함)에 대해 정확한 해를 구성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 공간적으로 변조된 비선형성과 함께 이중차원 비선형화 가능한 시스템에서 이득-손실 계수가 임의로 클 경우에도 $π\mathcal{T}$ 대칭성이 붕괴되지 않을 수 있는가?
• RQ2 허수 포텐셜이 $π\mathcal{T}$ 대칭성을 깨지만 공간적으로 국한되어 있을 경우, 비-$π\mathcal{T}$-대칭 모델에서 연속적인 안정 솔리톤 가닥이 존재하는가?
• RQ3 이러한 시스템에서 2차원 솔리톤의 비선형화 가능한 尾에 대한 일반적인 해석적 형태는 무엇인가?
• RQ4 기본 및 비틀림 솔리톤의 안정성 특성은 이득-손실 항의 공간 프로파일과 비선형성 조절에 따라 어떻게 달라지는가?
• RQ5 이러한 비선형화 가능한 모델에서 높은 차수의 반경 방향 및 비틀림 모드를 포함한 특정 솔리톤 상태에 대해 정확한 해석적 해를 도출할 수 있는가?

주요 결과

• $π\mathcal{T}$ 대칭 모델은 이득-손실 계수가 임의로 클 경우에도 붕괴되지 않는 연속적인 안정된 단일-피크 및 이중-피크 솔리톤 가닥을 지지하며, 고차원 반경 상태도 포함된다.
• $π\mathcal{T}$ 대칭 모델에서 위상 전하 $m=1$, $2$, $3$을 갖는 안정된 비틀림 솔리톤이 존재하며, 넓은 매개변수 영역에서 유지된다.
• 허수 포텐셜이 $W(x,y) \sim xy$인 비-$π\mathcal{T}$ 대칭 모델에서 공간적으로 국한된 경우, 기본 및 비틀림 솔리톤의 안정적인 가닥이 존재한다.
• $xy$-형 허수 포텐셜 모델의 타원형 변형에서 $m=1$인 비틀림 솔리톤에 대해 정확한 해석적 해를 도출하였다.
• 두 모델 모두에서 2차원 솔리톤의 비선형화 가능한 尾는 특정 매개변수에 관계없이 동일한 일반적인 해석적 형태를 따른다.
• 수치적 시뮬레이션은 작은 편미분 하에서도 솔리톤 가닥의 안정성을 확인하였으며, 고유값 분석과 직접 진동수 시뮬레이션을 통해 장기적 안정성을 검증하였다.