[논문 리뷰] Robust self-testing for linear constraint system games

Andrea Coladangelo, Jalex Stark|arXiv (Cornell University)|2017. 09. 26.

Advanced Database Systems and Queries참고 문헌 18인용 수 23

한 줄 요약

이 논문은 d ≥ 2인 ℤ_d 위에서 선형 제약 시스템(LCS) 게임에 대해 강건한 자기검증 정리들을 수립하며, Cleve, Liu, Slofstra의 표현 이론 프레임워크를 아벨 군이 아닌 군과 ℤ_d로 확장한다. 마법의 정사각형 및 마법의 오각형 게임이 각각 ℤ_2에서 두 쌍과 세 쌍의 최대 얽힘 큐비트를 고유하게 자기검증하며, ε-강건성 한계를 갖는다. 또한 d ≠ 2로의 일반화가 불가능하다는 것을 보여, 국소 차원이 2의 거듭제곱이 아닌 최대 얽힘 상태를 자기검증할 수 있는지에 대한 핵심 열린 질문을 해결한다.

ABSTRACT

We study linear constraint system (LCS) games over the ring of arithmetic modulo $d$. We give a new proof that certain LCS games (the Mermin--Peres Magic Square and Magic Pentagram over binary alphabets, together with parallel repetitions of these) have unique winning strategies, where the uniqueness is robust to small perturbations. In order to prove our result, we extend the representation-theoretic framework of Cleve, Liu, and Slofstra (Journal of Mathematical Physics 58.1 (2017): 012202.) to apply to linear constraint games over $\mathbb{Z}_d$ for $d\geq 2$. We package our main argument into machinery which applies to any nonabelian finite group with a ''solution group'' presentation. We equip the $n$-qubit Pauli group for $n\geq 2$ with such a presentation; our machinery produces the Magic Square and Pentagram games from the presentation and provides robust self-testing bounds. The question of whether there exist LCS games self-testing maximally entangled states of local dimension not a power of $2$ is left open. A previous version of this paper falsely claimed to show self-testing results for a certain generalization of the Magic Square and Pentagram mod $d eq 2$. We show instead that such a result is impossible.

연구 동기 및 목표

• d ≥ 2인 ℤ_d 위에서 LCS 게임에 대해 Cleve, Liu, Slofstra의 표현 이론 프레임워크를 확장하는 것.
• ℤ_2에서 Mermin–Peres의 마법의 정사각형 및 마법의 오각형 게임에 대해 강건한 자기검증 정리를 수립하는 것.
• LCS 게임이 국소 차원이 2의 거듭제곱이 아닌 최대 얽힘 상태를 자기검증할 수 있는지 여부를 해결하는 것.
• 마법의 정사각형 및 오각형 게임을 d ≠ 2로 일반화한 경우 자기검증을 달성할 수 없음을 보여, 이전 잘못된 주장의 수정

제안 방법

• 비아벨 유한군에 대해 해 그룹 프레임워크를 ℤ_d 위에서의 해 그룹 표현으로 확장하는 것.
• n ≥ 2인 n-큐비트 파울리 군에 대해 ℤ_2 위에서 해 그룹 표현을 적용하는 것.
• 군의 항등식 증명에서 생성자 및 관계의 출현 빈도를 제한하기 위해 군 그림과 표준형을 사용하는 것.
• ε-강건성 한계를 도출하기 위해 정리 B.1을 적용하며, 관계 및 생성자 빈도에 대한 한계에 의존하는 것.
• 복합성을 제어하기 위해 비틀린 교환관계와 부분그림 대체를 활용하여 병렬 반복에서의 복잡도를 제어하는 것.
• 군 표현의 안정성 이론과 승리 전략에 대한 표현 이론적 제약 조건에 기반해 강건성을 증명하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 d ≠ 2인 ℤ_d 위에서의 LCS 게임이 국소 차원 d가 2의 거듭제곱이 아닌 최대 얽힘 상태를 자기검증할 수 있는가?
• RQ2 ℤ_2에서 마법의 정사각형 및 마법의 오각형 게임이 각각 두 쌍과 세 쌍의 최대 얽힘 큐비트를 강건한 오차에 대해 고유하게 자기검증하는가?
• RQ3 모든 기약 표현이 1차 또는 d차원이며, J가 비자명한 d차 단위근으로 대응되는 ℤ_d 위의 해 그룹이 존재하는가?
• RQ4 어떤 유한 비아벨 군들이 해 그룹이며, 이들이 자기검증 성질을 갖는 의사텔레패시 게임을 지원할 수 있는가?
• RQ5 해 그룹 프레임워크를 모든 강건한 자기검증 성질을 갖는 LCS 게임을 포괄하도록 일반화할 수 있는가?

주요 결과

• 마법의 정사각형 게임은 ℤ_2에서 승리 확률의 오차 ε에 대해 O(ε) 강건성으로 두 쌍의 최대 얽힘 큐비트를 강건하게 자기검증한다.
• 마법의 오각형 게임은 ℤ_2에서 승리 확률의 오차 ε에 대해 O(ε) 강건성으로 세 쌍의 최대 얽힘 큐비트를 강건하게 자기검증한다.
• 마법의 정사각형 및 오각형 게임의 n중 병렬 반복은 n-큐비트 파울리 측정과 해당 최대 얽힘 상태를 O(ε) 강건성으로 자기검증한다.
• 마법의 정사각형 및 오각형 게임을 d ≠ 2로 일반화한 경우, 대수적 장애로 인해 자기검증을 달성할 수 없으며, 이러한 구성은 불가능하다.
• n ≥ 2인 n-큐비트 파울리 군은 ℤ_2 위에서 해 그룹 표현을 갖는다. 이는 다중 큐비트 얽힘 상태에 대한 자기검증 정리의 구축을 가능하게 한다.
• 논문은 이전 잘못된 주장이 잘못되었음을 보여, d ≠ 2인 ℤ_d 위에서의 LCS 게임이 국소 차원 d의 최대 얽힘 상태를 자기검증할 수 없다고 수정한다.