[논문 리뷰] Rosser provability and the second incompleteness theorem

Taishi Kurahashi|arXiv (Cornell University)|2019. 02. 19.

Logic, Reasoning, and Knowledge참고 문헌 20인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 피아노 산술에 대해 다양한 유도 조건 조합을 만족하는 세 가지의 구체적인 로셔 유도성 술어를 구성한다. 이는 힐버트-베르나이스 유도 조건만으로는 일관성 문장의 비증명 가능성을 보장할 수 없음을 보여주며, 이는 두 번째 불완전성 정리의 한계를 다양한 유도성 술어 하에서 드러낸다.

ABSTRACT

This paper is a continuation of Arai's paper on derivability conditions for Rosser provability predicates. We investigate the limitations of the second incompleteness theorem by constructing three different Rosser provability predicates satisfying several derivability conditions.

연구 동기 및 목표

• 특정 유도 조건을 만족하는 로셔 유도성 술어를 구성함으로써 두 번째 불완전성 정리의 한계를 조사하는 것.
• 히르베르트-베르나이스 유도 조건이 일관성 문장의 비증명 가능성을 암시하지는 않음을 보여주어, 표준적인 두 번째 불완전성 정리의 서술 방식에 도전하는 것.
• 특히 D2와 D3 조건이 주어진 이론에서 일관성 문장이 증명 가능하거나 비증명 가능한지 결정하는 데 어떤 역할을 하는지 명확히 하는 것.
• 아라가 이전에 한 작업을 확장하여, 힐버트-베르나이스 조건을 만족하면서도 일관성 문장을 증명하는 예를 구성함으로써, 일부 조건 집합이 충분하지 않음을 보여주는 것.

제안 방법

• 단계별 증명 탐색과 '벨링' 이벤트를 통해 증명 행동을 변화시키는 동적 증명 찾기 메커니즘을 기반으로 세 가지의 서로 다른 로셔 유도성 술어를 구성하는 것.
• 특정 단계 이전까지는 어떤 공식이 PA에서 증명 가능하거나 그 부정이 증명 가능하지 않은 경우에만 공식이 증명 가능하다고 간주하는 유도 술어 Pr₃^R(x)를 정의하는 것.
• 크립케 모델 이론적 기법과 재귀적 구성법을 사용하여 HB1, HB2, HB3, D1, D2, D3 등의 특정 유도 조건을 만족시키는 것을 보장하는 것.
• 각 단계에서 어떤 공식이 증명 가능하거나 반증 가능하다고 간주되는지를 추적하기 위해 집합 X_m 및 P_T,m의 수열을 사용하는 것.
• 한 경우는 벨이 결코 울리지 않는 것으로 가정하고(일관성), 다른 경우는 특정 단계에서 벨이 울린다고 가정하여(불일치 탐지) 케이스 분석을 통한 핵심 성질 증명.
• 증명 포함성과 일관성 가정에 관한 주장들을 사용하여 PA 내에서 형식적 유도를 통해 술어가 원하는 유도 조건을 만족하는지 확인하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 히르베르트-베르나이스 유도 조건(HB1, HB2, HB3)을 만족하면서도 자신의 일관성을 증명하는 로셔 유도성 술어를 구성할 수 있는가?
• RQ2 HB 조건 집합 {HB1, HB2, HB3}이 로셔 유도성의 맥락에서 일관성 문장의 비증명 가능성을 보장하는 데 충분한가?
• RQ3 히르베르트-베르나이스-뢰브 조건(D1, D2, D3)은 로셔 유도성 술어에 국한되었을 때 두 번째 불완전성 정리가 유지되기 위해 여전히 필수적인가?
• RQ4 D1과 D2를 만족하지만 일관성을 증명하지 못하는 로셔 유도성 술어, 또는 D1과 D3를 만족하면서도 일관성을 증명하는 술어를 구성할 수 있는가? 이를 통해 이러한 조건들이 상호 독립적임을 보여주는가?
• RQ5 로셔 스타일의 유도성 맥락에서, 유도 조건과 일관성 문장의 증명 가능성 간의 정확한 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 논문은 HB1, HB2, HB3를 만족하면서도 ¬Pr₃^R(⌜0≠0⌝)를 증명하는 로셔 유도성 술어 Pr₃^R을 구성한다. 이는 HB 조건만으로는 일관성의 비증명 가능성이 보장되지 않음을 보여주며, 이는 두 번째 불완전성 정리의 일반적인 가정과 모순된다.
• 이 결과는 힐버트-베르나이스 유도 조건만으로는 두 번째 불완전성 정리를 보장할 수 없음을 보여주며, 일반적으로 이 조건들이 충분하다고 여겨지는 바를 도전한다.
• 구성된 술어 Pr₃^R은 D1과 D3를 만족하고, HB1, HB2, HB3도 만족하지만 D2는 만족하지 못함을 보여주며, 이는 이러한 조건들이 상호 독립적임을 나타낸다.
• 이 증명은 특정 단계 m에서 '벨이 울리는' 이벤트가 발생함으로써 증명 행동이 변화하는 동적 메커니즘에 의존하며, 이는 표준적인 유도 조건이 만족된 상태에서도 일관성을 증명할 수 있도록 한다.
• Pr₃^R이 ∀x(Pr₃^R(x) → Pr₃^R(⌜Pr₃^R(ẋ)⌝)) 및 ∀x(Prf₃(x,y) → Pr₃^R(x))를 만족함을 보여주어, 이가 양자 및 증명 조건 하에서의 행동을 정확히 반영함을 확인한다.
• 모든 참인 Δ₀ 문장이 Pr₃^R 하에서 증명 가능하다는 것이 증명되며, 이는 비표준 행동을 보이더라도 이 술어가 유한 공식에 대해 진리가 정확히 반영됨을 보여준다.