[논문 리뷰] Ruin probabilities for two collaborating insurance companies

Zbigniew Michna|arXiv (Cornell University)|2018. 04. 18.

Probability and Risk Models참고 문헌 14인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 조각선형 드리프트를 갖는 스펙트르allly one-sided Lévy 과정의 최대분포에 대한 정확한 공식을 유도하며, 보험사 두 곳이 보험금과 보험료를 비례하게 나누는 상황에서 파산 확률을 명시적으로 계산할 수 있도록 한다. 주요 기여는 한 변의 밀도를 이용한 Lévy 과정의 일차원 밀도를 사용하여 유한 및 무한 수평에서의 파산 확률에 대한 폐쇄형 표현을 제공하는 것이다. 이는 감마, $α$-스테이블, 및 브라운 운동 과정에 대해 검증되었다.

ABSTRACT

In this note we find a formula for the supremum distribution of spectrally positive or negative Lévy processes with a broken linear drift. This gives formulas for ruin probabilities in the case when two insurance companies (or two branches of the same company) divide between them both claims and premia in some specified proportions. As an example we consider gamma Lévy process, $α$-stable Lévy process and Brownian motion. Moreover we obtain identities for Laplace transform of the distribution for the supremum of Lévy processes with randomly broken drift and on random intervals.

연구 동기 및 목표

• 스펙트르allly 양성 또는 음성 Lévy 과정에 대해 조각선형 드리프트를 갖는 최대분포에 대한 정확한 공식을 도출하는 것.
• 이 공식들을 비례 재보험을 포함한 두 보험사 모델에서의 파산 확률을 계산하는 데 적용하는 것.
• 이전 연구들이 무한 수평에 국한된 바에 비해, 이번 연구는 기존 결과를 확장하여 유한 및 무한 수평 모두에 대해 명시적인 공식을 제공하는 것.
• 랜덤 드리프트 변화 및 랜덤 간격 하에서 최대분포의 라플라스 변환에 대한 항등식을 수립하는 것.
• 특정 Lévy 과정인 감마, $α$-스테이블, 및 브라운 운동 과정을 통해 프레임워크를 검증하는 것.

제안 방법

• Lévy 과정 이론에서 알려진 지식과 이중성 원리를 사용하여, 스펙트르allly 음성 Lévy 과정의 최대값과 종료값의 결합분포를 유도하는 것.
• 켄달의 항등식과 이중성 보조정리를 적용하여 스펙트르allly 음성 과정에서의 결과를 스펙트르allly 양성 과정으로 전환하는 것.
• 라플라스 지수의 역수를 이용하여 최대분포의 라플라스 변환을 구하는 것으로, 베르토와, 드비비키 및 반즈의 기존 결과를 활용하는 것.
• 지수적 시간 변화와 제1통과 시간 기법을 사용하여, 랜덤 간격 및 랜덤 드리프트 변화 하에서 최대분포의 라플라스 변환에 대한 항등식을 수립하는 것.
• 라플라스 지수의 역수와 콘볼루션 항등식을 사용하여, 조각난 드리프트를 갖는 Lévy 과정의 최대분포에 대한 라플라스 변환에 대한 명시적 공식을 도출하는 것.
• 감마, $α$-스테이블, 및 브라운 운동 과정에 대해 결과를 검증하며, 이들에 대한 파산 확률에 대한 폐쇄형 표현을 제공하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 스펙트르allly 양성 또는 음성 Lévy 과정에 대해 조각선형 드리프트를 갖는 최대분포의 정확한 분포는 무엇인가?
• RQ2 기본 Lévy 과정의 일차원 밀도를 기반으로 최대분포는 어떻게 표현될 수 있는가?
• RQ3 보상금과 보험료를 비례하게 나누는 두 보험사의 경우, 유한 및 무한 수평에서의 파산 확률은 무엇인가?
• RQ4 드리프트가 랜덤하게 끊기거나 수평이 랜덤한 경우 파산 확률은 어떻게 변화하는가?
• RQ5 랜덤 간격에서 조각난 드리프트를 갖는 Lévy 과정의 최대분포에 대한 라플라스 변환에 대해 어떤 명시적 공식을 도출할 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 Lévy 과정의 한 변의 밀도와 시간에 따른 과정의 밀도를 포함하는 적분을 사용하여, 스펙트르allly 음성 Lévy 과정의 최대값과 종료값의 결합분포에 대한 폐쇄형 표현을 도출한다.
• 스펙트르allly 양성 Lévy 과정의 경우, 무한 수평에서의 파산 확률은 증분의 음수부 기대값과 시간 s에서의 과정의 밀도를 포함하는 표현식으로 주어진다.
• 라플라스 지수의 역수와 콘볼루션 항등식을 사용하여, 조각난 드리프트를 갖는 Lévy 과정의 최대분포에 대한 라플라스 변환에 대한 명시적 공식을 유도한다.
• 드리프트가 있는 브라운 운동의 경우, 라플라스 지수의 역수를 이용하여 최대분포의 라플라스 변환을 폐쇄형으로 도출하며, 이는 유리함수 표현을 제공한다.
• 감마, $α$-스테이블, 및 브라운 운동 과정에 대해 프레임워크를 검증하였으며, 이들에 대한 비례 재보험 하에서의 파산 확률에 대한 명시적 표현을 제공한다.
• 랜덤 간격 및 랜덤 드리프트 변화 하에서 최대분포의 라플라스 변환에 대한 항등식을 수립하여, 더 현실적인 리스크 모델로의 적용 가능성을 확장한다.