[논문 리뷰] S^1-Equivariant simplicial algebras and de Rham theory

Bertrand Toën, Gabriele Vezzosi|ArXiv.org|2009. 04. 21.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 7인용 수 10

한 줄 요약

이 논문은 $S^1$--equivariant simplicial $k$-algebras와 $\epsilon$-dg-algebras 사이의 함자적이고 호모토프 이론적 동치를 확립하며, 미분형식 대수 $A$의 de Rham 대수 $DR(A)$가 자연스럽게 $S^1$-호모토피 고정점 $\mathrm{hocolim}_{S^1} (S^1 \otimes A)$와 동형임을 보여준다. 주요 결과로는, 미분형식 $k$-스킴 $X$의 유도된 루프 공간 $LX$ 위의 $S^1$--equivariant 함수들이 그 de Rham 코homology와 자연스럽게 대응됨을 규명하여, Hochschild-Kostant-Rosenberg 정리에 대한 직접적이고 곱셈적인 증명을 제공한다.

ABSTRACT

This is a companion paper our previous submission "\infty-categories monoidales rigides et caracteres de Chern", in which we give a comparison between functions on the derived loop space of a smooth scheme of caracteristic zero, and its algebraic de Rham cohomology. As a consequence we obtain functorial and multiplicative versions of the HKR decomposition theorem relating Hochschild homology and Hodge cohomology.

연구 동기 및 목표

• 유도된 루프 공간 $LX$의 함수들과 그 de Rham 코homology 사이의 직접적이고 함자적인 비교를 유도된 대수기하학에서 사이클로믹 호모로지 없이 수립하는 것.
• 호모토피 이론적으로 $S^1$-equivariant simplicial $k$-algebras의 범주와 $\epsilon$-dg-algebras의 범주 사이의 동치를 수립하는 것.
• 분리된 $k$-스킴에 대해 유도된 대수기하학에서 Hochschild-Kostant-Rosenberg 동치를 새로운 곱셈적 방법으로 재증명하는 것.
• de Rham 이론에서 $\epsilon$-연산자의 역할을 $S^1$-action이 $S^1 \otimes A$ 위에 작용하는 방식과 연결함으로써 명확히 하는 것.

제안 방법

• 미분형식 $k$-대수 $A$를 단순 $k$-대수 $S^1 = B\mathbb{Z}$와 텐서곱하여 얻는 단순 $k$-대수인 $S^1 \otimes A$를 정의하며, 여기에는 자연스러운 $S^1$-action이 존재한다.
• de Rham 대수 $DR(A) = \mathrm{Sym}_A(\Omega_{A/k}^1[1])$로 구성된 $\epsilon$-dg-algebra $\epsilon(A)$를 정의하며, 이는 차수 $-1$인 연산자 $\epsilon$를 지니며, 그레드드 라이프니츠 법칙을 만족한다.
• 유도된 함자 $\mathbb{L}\epsilon$와 $S^1 \otimes^\mathbb{L} -$를 이용하여, $S^1$-equivariant simplicial $k$-algebras의 호모토피 이론과 $\epsilon$-dg-algebras 사이의 유도된 동치 $\phi$를 수립한다.
• 단순 대수와 dg-algebra 사이의 관계를 정규화 함자 $N$을 통해 연결하며, 임의의 단순 $k$-대수 $A$에 대해 $\mathbb{L}\epsilon(N(A)) \simeq \phi(S^1 \otimes^\mathbb{L} A)$임을 보인다.
• 분리된 $k$-스킴 $X$의 기본층 $\mathcal{O}_X$에 이 동치를 적용하여 $\phi(\mathcal{O}(LX)) \simeq \mathbb{R}\Gamma(X, \epsilon(X))$를 도출하며, 여기서 $\mathcal{O}(LX) = \mathbb{R}\Gamma(X, S^1 \otimes \mathcal{O}_X)$이다.
• 등급 호모토피 고정점의 계산을 위해 $\mathrm{Hom}_{Ho(\epsilon\text{-}dg\text{-}mod)}(k, B) \simeq H^0(\mathrm{Tot}(\mathcal{B}B^{-}))$의 동치를 활용하여, $\mathcal{O}(LX)$의 $S^1$-호모토피 고정점이 $X$의 짝수 차수 de Rham 코homology임을 밝힌다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 사이클로믹 호모로지 없이, 미분형식 $k$-스킴의 유도된 루프 공간을 어떻게 그 de Rham 코homology와 직접 연결할 수 있는가?
• RQ2 S^1$-equivariant simplicial algebras와 $\epsilon$-dg-algebras 사이의 정확한 호모토피 이론적 관계는 무엇인가?
• RQ3 Hochschild-Kostant-Rosenberg 동치는 유도된 대수기하학에서 함자적이고 곱셈적인 동치로 재구성될 수 있는가?
• RQ4 $\epsilon$-연산자가 de Rham 복합체 위에 어떻게 작용하는가? 이는 $S^1 \otimes A$ 위의 $S^1$-action과 어떻게 관련되는가?
• RQ5 $S^1 \otimes \mathcal{O}_X$의 호모토피 고정점 스펙트럼은 de Rham 코homology로 어떻게 기술되는가?

주요 결과

• $\mathcal{O}(LX) = \mathbb{R}\Gamma(X, S^1 \otimes \mathcal{O}_X)$의 $S^1$-호모토피 고정점은 $X$의 짝수 차수 de Rham 코homology와 동형이며, 즉 $\pi_0(\mathcal{O}(LX)^{hS^1}) \simeq H^{ev}_{DR}(X)$이다.
• $S^1$-equivariant simplicial $k$-algebras의 호모토피 이론과 $\epsilon$-dg-algebras 사이에 함자적이고 호모토피 이론적인 동치 $\phi$가 존재하며, 임의의 미분형식 $k$-대수 $A$에 대해 $\phi(S^1 \otimes A) \simeq \epsilon(A)$임을 보였다.
• 미분형식 $k$-스킴 $X$의 유도된 루프 공간 $LX$ 위의 $S^1$-equivariant 함수들은 $X$의 de Rham 복합체와 동형이며, $\epsilon(A)$의 $\epsilon$-구조는 $S^1 \otimes A$ 위의 $S^1$-action과 대응된다.
• $\mathrm{Sym}_{\mathcal{O}_X}(\mathbb{L}_{X/k}[1]) \simeq \mathcal{O}_X \otimes^{\mathbb{L}}_{\mathcal{O}_X \otimes^{\mathbb{L}}_k \mathcal{O}_X} \mathcal{O}_X$는 $\mathcal{O}_X$-dg-algebra의 호모토피 범주에서 성립하며, 이는 HKR 정리의 일반화이다.
• 주기적 순환 코hom로지 $H^*_{\mathrm{per}}(X/k) \simeq \pi_*(\mathbb{R}\Gamma(X, S^1 \otimes \mathcal{O}_X)^{hS^1})[u^{-1}]$로 복구되며, 여기서 $u$는 차수 2인 형식 변수이다.