[논문 리뷰] Sample Efficient Algorithms for Learning Quantum Channels in PAC Model and the Approximate State Discrimination Problem

Kai-Min Chung, Han-Hsuan Lin|arXiv (Cornell University)|2018. 10. 25.

Machine Learning and Algorithms참고 문헌 33인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 양자 채널을 위한 PAC 학습 프레임워크를 제안하며, 두 가지 샘플 효율적인 알고리즘을 제시한다: 순수 상태 출력에 대해서는 샘플 복잡도 $ O((\log |C| + \log(1/\delta))/\epsilon^2) $이며, 혼합 상태 출력에 대해서는 복잡도 $ O((\log^3 |C|)(\log |C| + \log(1/\delta))/\epsilon^2) $이다. 주요 기여는 근사 상태 구분을 통한 효율적 양자 과정 학습을 가능하게 하여, 구조적 설정에서 난이도 높은 토모그래피에 비해 지수적 개선을 이룬다는 점이다.

ABSTRACT

The probably approximately correct (PAC) model [Leslie G. Valiant, 1984] is a well studied model in classical learning theory. Here, we generalize the PAC model from concepts of Boolean functions to quantum channels, introducing PAC model for learning quantum channels, and give two sample efficient algorithms that are analogous to the classical "Occam’s razor" result [Blumer et al., 1987]. The classical Occam’s razor algorithm is done trivially by excluding any concepts not compatible with the input-output pairs one gets, but such an approach is not immediately possible with a concept class of quantum channels, because the outputs are unknown quantum states from the quantum channel. To study the quantum state learning problem associated with PAC learning quantum channels, we focus on the special case where the channels all have constant output. In this special case, learning the channels reduce to a problem of learning quantum states that is similar to the well known quantum state discrimination problem [Joonwoo Bae and Leong-Chuan Kwek, 2017], but with the extra twist that we allow ε-trace-distance-error in the output. We call this problem Approximate State Discrimination, which we believe is a natural problem that is of independent interest. We give two algorithms for learning quantum channels in PAC model. The first algorithm has sample complexity O((log|C| + log(1/ δ))/(ε²)), but only works when the outputs are pure states, where C is the concept class, ε is the error of the output, and δ is the probability of failure of the algorithm. The second algorithm has sample complexity O((log³|C|(log|C|+log(1/ δ)))/(ε²)), and work for mixed state outputs. Some implications of our results are that we can PAC-learn a polynomial sized quantum circuit in polynomial samples, and approximate state discrimination can be solved in polynomial samples even when the size of the input set is exponential in the number of qubits, exponentially better than a naive state tomography.

연구 동기 및 목표

• 기본적인 PAC 학습 모델을 양자 채널로 일반화하여, 알려지지 않은 양자 과정을 효율적으로 학습할 수 있도록 한다.
• 출력 상태가 알려지지 않은 양자 시스템일 경우 양자 채널을 학습하는 데 도전하는 문제를 다루며, 양자 상태 구분 기법을 활용한다.
• 트레이스 거리 오차를 允가하는 양자 상태 구분의 변종인 근사 상태 구분 문제를 도입하고 해결한다.
• 출력 차원에 영향을 받지 않는 순수 상태 및 혼합 상태 출력을 가진 양자 채널 학습을 위한 샘플 복잡도 한계를 설정한다.
• 구조적 설정에서 표준 양자 과정 토모그래피에 비해 지수적 샘플 절감을 보여준다.

제안 방법

• 샘플된 입력-출력 쌍과 일치하지 않는 가설을 반복적으로 제거함으로써, 고전적 Occam의 면도 원리의 양자 채널 버전을 일반화한다.
• 출력 상태가 알려지지 않은 양자 상태일지라도, 후보 채널이 관측된 출력 상태와 호환되는지 확인하기 위해 양자 상태 구분 기법을 사용한다.
• 입력 분포 D에 대해 평균화된 트레이스 거리를 양자 채널 간의 거리 척도로 사용한다.
• 가설 선택에서 오류 확률을 제어하기 위해 Chernoff 추정 및 유니온 추정을 적용한다.
• 혼합 상태 케이스에서는 다수의 출력 상태 복사본으로부터 구분 정보를 추출하기 위해 재귀적 또는 반복적인 측정 전략을 사용한다.
• ϵ-패킹 넷과 Holevo 정보 한계를 활용하여 샘플 복잡도에 대한 정보 이론적 하한을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 PAC 학습 프레임워크는 고전적 개념에서 양자 채널로 일반화될 수 있는가?
• RQ2 출력 상태가 알려지지 않은 양자 시스템일 경우, 어떻게 효율적으로 양자 채널을 학습할 수 있는가?
• RQ3 순수 상태 출력을 가진 양자 채널 학습에 대해 최적의 샘플 복잡도는 무엇인가?
• RQ4 혼합 상태 출력을 가진 양자 채널 학습에 대해 최적의 샘플 복잡도는 무엇인가?
• RQ5 근사 상태 구분은 효율적으로 해결될 수 있으며, 양자 과정 학습과의 관계는 어떠한가?

주요 결과

• 첫 번째 알고리즘은 순수 상태 출력에 대해 샘플 복잡도 $ O((\log |C| + \log(1/\delta))/\epsilon^2) $을 달성하며, 고전적 Occam의 면도 기준에 비례하는 로그 요소를 제외하고 동일하다.
• 두 번째 알고리즘은 혼합 상태 출력에 대해 샘플 복잡도 $ O((\log^3 |C|)(\log |C| + \log(1/\delta))/\epsilon^2) $을 달성하며, 출력 차원에 영향을 받지 않는다.
• 결과적으로 $ n $ 큐비트의 다항식 크기의 양자 회로는 $ \text{poly}(n) $개의 샘플로 PAC-학습될 수 있으며, 이는 난이도 높은 토모그래피에 비해 지수적 개선이다.
• 입력 집합 크기가 큐비트 수에 대해 지수적일지라도, 근사 상태 구분 문제가 다항 샘플로 해결될 수 있음을 입증한다.
• 순수 상태 근사 구분에 대해 $ \Omega((1 - \delta)\ln |C| / \epsilon^2) / \ln(\ln |C| / \epsilon) $의 하한이 확립되었으며, 이는 상한과 로그 요소를 제외하고 일치한다.
• d차원 공간에서의 고전적 분포에 대한 일반화 학습의 샘플 복잡도에 대해 $ \Omega(\sqrt{d}) $의 하한이 증명되었으며, 이는 고차원 고전적 분포의 효율적 일반화 학습의 한계를 시사한다.