[논문 리뷰] Sampling Distributions of Optimal Portfolio Weights and Characteristics in Low and Large Dimensions

Taras Bodnar, Holger Dette외 2명|arXiv (Cornell University)|2019. 01. 01.

Random Matrices and Applications참고 문헌 57인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 다변량 정규 수익률 하에서 저차원 및 고차원 설정 모두에서 최적 포트폴리오 가중치 및 특성에 대한 표본 분포를 수정하고 재수립한다. 수정된 전치적 표현을 통해 글로벌 최소 분산(GMV) 포트폴리오 가중치를 사용하여, 추정된 포트폴리오 특성에 대한 점근 정규성을 도출하며, 고차원 점근적 기준(p/n → c ∈ [0,1)) 하에서 효율 포트폴리오 가중치의 점근 공분산 행렬에 대한 일致 추정량을 제공한다. 주요 기여는 고차원에서의 포트폴리오 최적화에 대한 엄밀하고 수정된 점근 이론으로, 추정 가중치의 극한 분포 및 공분산 행렬에 대한 명시적 공식을 포함한다.

ABSTRACT

Optimal portfolio selection problems are determined by the (unknown) parameters of the data generating process. If an investor wants to realise the position suggested by the optimal portfolios, he/she needs to estimate the unknown parameters and to account for the parameter uncertainty in the decision process. Most often, the parameters of interest are the population mean vector and the population covariance matrix of the asset return distribution. In this paper, we characterise the exact sampling distribution of the estimated optimal portfolio weights and their characteristics. This is done by deriving their sampling distribution by its stochastic representation. This approach possesses several advantages, {e.g.} (i) it determines the sampling distribution of the estimated optimal portfolio weights by expressions, which could be used to draw samples from this distribution efficiently; (ii) the application of the derived stochastic representation provides an easy way to obtain the asymptotic approximation of the sampling distribution. The later property is used to show that the high-dimensional asymptotic distribution of optimal portfolio weights is a multivariate normal and to determine its parameters. Moreover, a consistent estimator of optimal portfolio weights and their characteristics is derived under the high-dimensional settings. Via an extensive simulation study, we investigate the finite-sample performance of the derived asymptotic approximation and study its robustness to the violation of the model assumptions used in the derivation of the theoretical results.

연구 동기 및 목표

• 작은 차원과 큰 차원에서 최적 포트폴리오 가중치 및 특성에 대한 표본 분포를 수정하고 재유도하는 것.
• 고차원 점근적 기준(p/n → c ∈ [0,1)) 하에서 글로벌 최소 분산(GMV) 및 효율 포트폴리오(EU) 가중치에 대한 엄밀한 점근 이론을 제공하는 것.
• 기존 논문의 정리 2.1 및 관련 결과, 특히 추정된 포트폴리오 가중치 벡터 ˆη의 전치적 표현에서의 오류를 수정하는 것.
• 고차원 포트폴리오 최적화에서 유효한 추론을 가능하게 하기 위해 추정된 효율 포트폴리오 가중치의 점근 공분산 행렬에 대한 일致 추정량을 도출하는 것.

제안 방법

• 카이제곱, 스튜던트의 t, 정규 분포 변수를 사용하여 조건부 독립 구조를 갖는 수정된 전치적 표현을 통해 추정된 GMV 포트폴리오 가중치(ˆVGMV, ˆRGMV, ˆθ, ˆs, ˆη)를 유도한다.
• 일阶 테일러 전개와 연속성 사상 정리(continuous mapping theorem)를 사용하여 고차원 점근적 기준 하에서 추정된 효율 포트폴리오 가중치의 점근 분포를 유도한다.
• 보조정리 A.1의 수정된 전치적 표현을 적용하여 정리 2.1과 그 결과인 정리 3.1 및 추론 4.1을 재유도한다.
• 추정된 효율 포트폴리오 가중치의 점근 공분산 행렬 ΩL,g를 유도하며, 이는 포트폴리오의 리스크-수익 특성과 고차원 극한 c = p/n에 명시적 의존성을 포함한다.
• 표본 대체법을 사용하여 포트폴리오 가중치의 점근 공분산 행렬 ˆΩL,EU,c에 대한 일치 추정량 ˆΩL,EU,c를 제안한다.
• 다변량 정규분포 및 비상심 카이제곱 근사법을 사용하여 고차원 체제 하에서 주요 포트폴리오 특성의 극한 분포를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 고차원에서 추정된 글로벌 최소 분산 포트폴리오 가중치에 대한 올바른 전치적 표현은 무엇인가?
• RQ2 원본 논문의 추정 오차가 효율 포트폴리오 가중치의 점근 분포에 미치는 영향은 무엇인가?
• RQ3 고차원 점근적 기준 하에서 추정된 효율 포트폴리오 가중치의 올바른 점근 공분산 행렬은 무엇인가?
• RQ4 고차원에서 효율 포트폴리오 가중치의 점근 공분산 행렬에 대한 일치 추정량을 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ5 수정된 전치적 표현이 리스크, 수익, 가중치와 같은 포트폴리오 특성의 극한 분포에 미치는 영향은 무엇인가?

주요 결과

• 수정된 정리 2.1은 조건부 독립을 갖는 독립적인 카이제곱, 스튜던트의 t, 정규 분포 변수를 사용하여 ˆVGMV, ˆRGMV, ˆθ, ˆs, ˆη의 유효한 공동 전치적 표현을 제공한다.
• 추정된 효율 포트폴리오 가중치의 점근 분포는 평균이 0이고 공분산 행렬이 ΩL,g인 다변량 정규분포로 수렴하며, 이는 고차원 점근적 기준(p/n → c ∈ [0,1)) 하에서 유도된다.
• 점근 공분산 행렬 ΩL,g는 명시적으로 유도되었으며, 포트폴리오의 리스크(VGMV), 수익(RGMV), 최소 분산 포트폴리오에 대한 노출(s)를 포함하고 있으며, 고차원 편향을 보정하는 항이 포함되어 있다.
• 특수한 경우인 효율 포트폴리오(EU)에 대해 점근 공분산 행렬은 ΩL,EU = [(s+1)/(1−c)² + VGMV]LQL⊤ + γ⁻²s²/(1−c)² ηη⊤로 주어지며, 여기서 c = p/n이다.
• 표본 대체법을 사용하여 VGMV, s, η의 표본 모의치를 사용하는 일치 추정량 ˆΩL,EU,c를 제안하였으며, ˆsc = (n−p)/n (ˆs − p/(n−p))를 통해 고차원 설정에서의 편향을 보정한다.
• 수정된 추론 4.1은 ˆs 및 ˆη의 점근 분산이 c와 비상심 파ameter µ⊤Aµ를 포함하는 항들에 의해 조정됨을 보여주며, 고차원 추정 편향의 영향을 반영한다.