[논문 리뷰] Saturation and recurrence of quantum complexity in random local quantum dynamics

Michał Oszmaniec, Kotowski, Marcin외 2명|arXiv (Cornell University)|2022. 05. 19.

Quantum Computing Algorithms and Architecture인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 무작위 국소 양자 회로에서 양자 복잡도가 시스템 크기의 지수적 시간 이후 최대값에 도달하고, 이어서 이중지수적 시간에 다시 반복됨을 증명하며, Brown와 Susskind의 추측을 확인한다. 분석은 하르 측도와 고차수 근사 단위행렬 설계 간의 연결을 바탕으로 하며, 깊이가 충분한 무작위 회로가 이러한 설계로 수렴함을 보여주어 복잡도 역학에 대한 엄밀한 경계를 가능하게 한다.

ABSTRACT

Quantum complexity is a measure of the minimal number of elementary operations required to approximately prepare a given state or unitary channel. Recently, this concept has found applications beyond quantum computing -- in studying the dynamics of quantum many-body systems and the long-time properties of AdS black holes. In this context Brown and Susskind \cite{BrownSusskind17} conjectured that the complexity of a chaotic quantum system grows linearly in time up to times exponential in the system size, saturating at a maximal value, and remaining maximally complex until undergoing recurrences at doubly-exponential times. In this work we prove the saturation and recurrence of complexity in two models of chaotic time evolutions based on (i) random local quantum circuits and (ii) stochastic local Hamiltonian evolution. Our results advance an understanding of the long-time behaviour of chaotic quantum systems and could shed light on the physics of black hole interiors. From a technical perspective our results are based on establishing new quantitative connections between the Haar measure and high-degree approximate designs, as well as the fact that random quantum circuits of sufficiently high depth converge to approximate designs.

연구 동기 및 목표

• Brown와 Susskind가 제안한 바와 같이, 혼돈적인 양자 시스템에서 양자 회로 복잡도의 포화 및 재발을 엄밀히 확립하는 것.
• 게이트 세트나 상호작용 기하구조에 관계없이, 무작위 국소 양자 회로의 장기 역학적 복잡도를 분석하는 것.
• 하르 측도의 성질을 회로 깊이와 복잡도 진화와 정량적으로 연결하여 양자 복잡도 이론과 무작위 행렬 이론, 근사 설계를 연결하는 것.
• 무작위 회로의 보편적 모델을 통해 블랙홀 내부와 양자 다체계에서의 복잡도를 이해하기 위한 기초를 제공하는 것.

제안 방법

• 저자들은 각 시간 단계에서 큐비트의 부분집합에 대해 무작위 유니터리 연산자를 적용하는 방식으로 혼돈적인 시간 진화를 모델링한다.
• 하르 측도와 고차수 근사 단위행렬 설계 사이의 정량적 연결을 확립하여, 깊이가 충분한 무작위 회로가 이러한 설계로 수렴함을 보여준다.
• 웨일 적분 공식을 사용하여, 유니터리 군 내 복잡도 링의 부피를 고유값 분포와 단위원 위의 호 길이로 표현한다.
• 기하학적 및 확률적 추론을 통해 유니터리 군 내 링의 부피에 대한 경계를 도출하며, 특히 원 위에 무작위로 분포한 점들을 포함하는 가장 짧은 호의 분포를 활용한다.
• 핵심 기술 도구는 거리가 항등원으로부터의 거리에 따라 정의된 링의 부피에 대한 신규 상한선으로, 고유값 호 길이와 함수 $ f(x) = 4\arcsin(x/2) $를 활용하여 거리에서 호 길이로의 변환을 제공한다.
• 재발성 증명은 유니터리 군의 유한차원성에 기반한 Poincaré 재발 원리와 측도 집중 및 부피 감쇠 추정을 조합하여 이루어진다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 무작위 국소 양자 회로에서의 양자 복잡도는 시스템 크기의 지수적 시간 이후 최대값에 도달하는가?
• RQ2 이중지수적 시간 척도에서 복잡도가 단순한 값으로 재발하는 것이 엄밀히 증명될 수 있는가?
• RQ3 충분한 깊이의 무작위 양자 회로가 어느 정도 단위행렬 설계를 근사하는가? 이는 복잡도 역학과 어떻게 관련되는가?
• RQ4 하르 측도와 고유값 호 길이 분포는 유니터리 군 내 복잡도 링의 부피를 어떻게 제약하는가?
• RQ5 회로 깊이, 복잡도 증가, 근사 설계 수렴 사이의 정량적 정밀한 관계는 무엇인가?

주요 결과

• 무작위 국소 양자 회로에서의 양자 복잡도는 큐비트 수 $ n $ 에 대해 시간 $ t_{\text{sat}} = \exp(\Theta(n)) $ 이후 최대값에 도달한다.
• 복잡도는 이 후 최대 복잡도를 유지하다가, 시간 $ t_{\text{rec}} = \exp(\exp(\Theta(n))) $ 에서 낮은 복잡도로 재발하며, Poincaré 재발 원리와 일치한다.
• 항등원으로부터 거리 $ \kappa $ 이내에 있는 유니터리의 집합 부피는 $ (2\lambda\kappa)^{d^2 - 1}(\lambda - 1) $ 로 경계지며, 이는 복잡도 링의 정량적 분석을 가능하게 한다.
• 충분한 깊이의 무작위 양자 회로는 고차수 근사 단위행렬 설계로 수렴하며, 이는 복잡도 분석에서 하르 측도 근사치를 사용할 수 있음을 보여준다.
• 무작위 유니터리의 고유값을 포함하는 가장 짧은 호의 분포는 복잡도 링의 부피를 경계하는 데 사용되며, 호 길이는 직접적으로 항등원으로부터의 다이아몬드 노름 거리와 관련된다.
• 분석은 임의의 국소 게이트 세트와 상호작용 기하구조에 대해 유효하며, 무작위 회로 모델에서 복잡도 역학의 보편성을 입증한다.