[논문 리뷰] Scalable Bayesian Hamiltonian learning

T. J. Evans, Robin Harper외 1명|arXiv (Cornell University)|2019. 12. 16.

Gaussian Processes and Bayesian Inference참고 문헌 2인용 수 15

한 줄 요약

이 논문은 스케일이 크고 비정규적 또는 비국소적 상호작용을 포함한 양자 시스템 해밀토니안을 정밀하고 불확실성 인식 가능하게 재구성할 수 있도록 보장하는 확장성 있고 적응형 베이지안 프레임워크인 베이지안 해밀토니안 학습(BHL)을 소개한다. 이는 다수의 입력 상태, 제어 필드 및 사전 정보를 사용하여 이전의 해밀토니안 추정 방법의 한계를 극복한다. 이론적 보장에 따르면, $k$-스파인 해밀토니안의 경우 표본 복잡도는 $\tilde{O}(n^{3k}/(\varepsilon\Delta)^{3/2})$로 스케일링된다.

ABSTRACT

As the size of quantum devices continues to grow, the development of scalable methods to characterise and diagnose noise is becoming an increasingly important problem. Recent methods have shown how to efficiently estimate Hamiltonians in principle, but they are poorly conditioned and can only characterize the system up to a scalar factor, making them difficult to use in practice. In this work we present a Bayesian methodology, called Bayesian Hamiltonian Learning (BHL), that addresses both of these issues by making use of any or all, of the following: well-characterised experimental control of Hamiltonian couplings, the preparation of multiple states, and the availability of any prior information for the Hamiltonian. Importantly, BHL can be used online as an adaptive measurement protocol, updating estimates and their corresponding uncertainties as experimental data become available. In addition, we show that multiple input states and control fields enable BHL to reconstruct Hamiltonians that are neither generic nor spatially local. We demonstrate the scalability and accuracy of our method with numerical simulations on up to 100 qubits. These practical results are complemented by several theoretical contributions. We prove that a $k$-body Hamiltonian $H$ whose correlation matrix has a spectral gap $Δ$ can be estimated to precision $\varepsilon$ with only $ ilde{O}\bigl(n^{3k}/(\varepsilon Δ)^{3/2}\bigr)$ measurements. We use two subroutines that may be of independent interest: First, an algorithm to approximate a steady state of $H$ starting from an arbitrary input that converges factorially in the number of samples; and second, an algorithm to estimate the expectation values of $m$ Pauli operators with weight $\le k$ to precision $ε$ using only $O(ε^{-2} 3^k \log m)$ measurements, which quadratically improves a recent result by Cotler and Wilczek.

연구 동기 및 목표

• 기존 해밀토니안 학습 방법의 실용적 한계를 해결하되, 이는 조건이 나쁜 해밀토니안 추정과 스칼라 인자에 대한 불확실성으로 인해 발생한다.
• 대규모 양자 시스템에서 비정규적 및 비공간적으로 국소적인 상호작용을 포함한 해밀토니안의 정확하고 확장 가능한 재구성을 가능하게 한다.
• 사전 지식, 다수의 입력 상태, 실험적 제어를 통합하여 추정 정밀도와 강인성을 향상시킨다.
• 실시간으로 누적되는 데이터에 따라 추정치와 불확실성을 갱신하는 온라인 적응형 측정 프로토콜을 개발한다.
• 현실적인 물리적 가정 하에 정확한 해밀토니안 재구성에 대한 표본 복잡도의 이론적 경계를 제공한다.

제안 방법

• 해밀토니안에 대한 사전 지식을 통합하고 순차적인 실험 데이터를 사용해 믿음(확률 분포)을 갱신하는 베이지안 모델을 수립한다.
• 정규적 또는 국소적 형태를 초월한 해밀토니안 재구성을 위해 다수의 입력 상태와 제어 필드를 사용하여 식별 가능성(identifiability)을 향상시킨다.
• 반복적 샘플링을 통해 해밀토니안과 관련된 커널 연산자 $K$의 행렬 원소를 추정하기 위해 사다리형 방법(quadrature-based method)을 구현한다.
• 임의의 초기 상태로부터 해밀토니안의 안정 상태를 빠르게 근사하기 위해 수렴 속도가 빠른 알고리즘을 활용하며, 표본 수에 대해 팩토리얼 수렴 속도를 보인다.
• 최근의 작업보다 향상된 $O(\epsilon^{-2}3^k \log m)$ 측정 수를 사용하여 $m$개의 파울리 연산자 기대값(중량 $\leq k$)을 추정하기 위해 새로운 측정 프로토콜을 적용한다.
• 표본 오차와 사다리형 오차 사이의 트레이드오프를 적응형 시간 및 표본 선택을 통해 최적화하여 총 측정 비용을 최소화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 대규모 양자 시스템에서 해밀토니안 추정의 조건 수 나쁨과 스칼라 불확실성 문제를 극복하기 위해 베이지안 추론을 사용할 수 있는가?
• RQ2 사전 지식, 다수의 입력 상태, 제어 필드를 체계적으로 통합하여 공간적으로 국소적이거나 일반적인 모델을 초월한 해밀토니안 재구성을 어떻게 향상시킬 수 있는가?
• RQ3 실제 노이즈와 유한 표본 제약 조건 하에서 해밀토니안 학습의 측정 비용과 추정 정확도 사이의 최적 트레이드오프는 무엇인가?
• RQ4 이 방법을 적응형이고 온라인으로 만들 수 있는가? 새로운 데이터가 도착함에 따라 추정치와 불확실성을 실시간으로 갱신할 수 있는가?
• RQ5 정확한 $k$-스파인 및 $k$-로컬 해밀토니안 재구성에 대해 어떤 이론적 표본 복잡도 경계를 도출할 수 있는가?

주요 결과

• 이 방법은 정밀도 $\varepsilon$로 $k$-스파인 해밀토니안을 재구성할 때 표본 복잡도 $\tilde{O}(n^{3k}/(\varepsilon\Delta)^{3/2})$를 달성한다. 여기서 $\Delta$는 스펙트럼 갭이다.
• $D$ 차원 공간에서의 $k$-로컬 해밀토니안의 경우, 표본 복잡도는 $O\bigl(\frac{n^{3}k^{3D}3^{2k}}{\varepsilon^{3/2}\Delta^{3/2}}\sqrt{\log(n^{3}k^{3D}/(\delta\sqrt{\varepsilon\Delta}))}\bigr)$로 스케일링된다.
• 최근 Cotler와 Wilczek의 결과에 비해, $O(\epsilon^{-2}3^k \log m)$ 측정 수를 사용하여 $m$개의 파울리 연산자 기대값을 추정하는 데 있어 이중적 개선을 제공한다.
• 안정 상태 근사 서브루틴은 표본 수에 대해 팩토리얼 수렴 속도를 보이며, 기존 방법 대비 수렴 속도를 크게 향상시킨다.
• 수치 시뮬레이션을 통해 최대 100 큐비트 시스템에서도 확장성과 정확성이 입증되었으며, 이는 이론적 경계를 검증한다.
• 이 프레임워크는 온라인 및 적응형 학습을 가능하게 하여 새로운 데이터가 도착함에 따라 계속해서 해밀토니안 추정치와 그 불확실성을 갱신한다.