[논문 리뷰] Scalar vacuum structure in general relativity and alternative theories. Conformal continuations

К. А. Бронников|arXiv (Cornell University)|2001. 10. 31.

Cosmology and Gravitation Theories참고 문헌 2인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 일반 상대성 이론 및 보조 중력 이론(스칼라-텐서 및 고차원 중력)에서 정적이고 구형 대칭인 스칼라 진공 해의 전역 인과적 구조를 조사하며, 동치 변환을 통해 특이 면을 통해 정규 연장을 가능하게 하는 조건이 매우 엄격하다는 것을 보여준다. 주요 결과는 동치 변환 연장—즉, 아인슈타인 프레임에서의 특이성이 조르단 프레임에서 정규 표면으로 매핑되는 경우—가 특정 고차원 영점이 존재할 경우에만 가능하며, 이 외에는 일정한 스칼라 장의 경우와 유사하게 전역적 구조가 제한됨을 시사한다.

ABSTRACT

We discuss the global properties of static, spherically symmetric configurations of a self-gravitating real scalar field $ϕ$ in general relativity (GR), scalar-tensor theories (STT) and high-order gravity ($L=f(R)$) in various dimensions. In GR, for fields with arbitrary potentials $V(ϕ)$, not necessarily positive-definite, it is shown that the list of all possible types of space-time causal structure in the models under consideration is the same as the one for $ϕ= const$. In particular, there are no regular black holes with any asymptotics. These features are extended to STT and $f(R)$ theories, connected with GR by conformal mappings, unless there is a conformal continuation, i.e., a case when a singularity in a solution of GR maps to a regular surface in an alternative theory, and the solution is continued through such a surface. This effect is exemplified by exact solutions in GR with a massless conformal scalar field, considered as a special STT. Necessary conditions for the existence of a conformal continuation are found; they only hold for special choices of STT and high-order theories of gravity.

연구 동기 및 목표

• 일반 상대성 이론 및 보조 중력 이론에서 정적이고 구형 대칭인 스칼라 진공 구성이 일정한 스칼라 장의 경우보다 더 풍부한 전역 인과적 구조를 보일 수 있는지 여부를 규명하는 것.
• 동치 변환의 역할을 분석하여 일반 상대성 이론과 스칼라-텐서 및 고차원 중력 이론를 연결하고, 특이 면을 통해 정규 연장을 가능하게 하거나 차단하는 요소를 규명하는 것.
• 특이성이 한 프레임에서 발생할 때 다른 프레임에서 정규 표면으로 매핑되는 동치 변환 연장이 이루어지기 위한 필요 및 충분 조건을 규명하여 시공간 해의 전역적 구조를 확장하는 것.
• 일반적으로 보조 중력 이론의 해에서 인과적 구조는 일정한 스칼라 장의 경우와 동일하게 제한됨을 입증하며, 일반 상대성 이론에서의 경우와 유사하게 유지됨을 보여주는 것.

제안 방법

• 아인슈타인 프레임(최소 결합 스칼라 장를 갖는 일반 상대성 이론)과 조르단 프레임(스칼라-텐서 또는 고차원 중력 이론)을 연결하기 위해 동치 변환을 활용하며, 이를 통해 장 방정식을 변환한다.
• 스칼라 진공 구성의 모델링을 위해 D 차원에서의 작용 $$ S = \int d^Dx \sqrt{|g|} \left[ R + (\partial\varphi)^2 - 2V(\varphi) \right] $$ 를 적용한다.
• 특이 면(예: $ \rho = 0 $) 근처에서 메트릭 함수와 스칼라 장의 행동을 분석하며, 특히 $ A(\rho) $, $ r(\rho) $, 및 $ F(\varphi) $ 의 점근적 행동을 중점적으로 고려한다.
• 아인슈타인 프레임에서 특이 면(예: 곡률 특이성)이 조르단 프레임에서 정규 표면으로 매핑되는 조건을 유도하며, 동치 인자 $ F(\varphi) \sim e^{\sqrt{2/3}\varphi} $ 와 $ \varphi \to \infty $ 일 때의 행동을 고려한다.
• 호이즌 또는 구면을 통해의 연속 가능성 분석을 통해 $ A(\rho)F(\varphi) $ 의 영점의 차수와 고차원 중력에서의 $ R $ 및 $ f(R) $ 의 행동을 분석하며, 특히 $ f(R) $ 가 $ R = R_0 \neq 0 $ 에서 최소한 이차 영점을 가져야 한다는 조건을 요구한다.
• 이전 연구의 정리(정리 3)를 적용하여 가능한 인과적 구조 목록을 제약하며, 동치 연장이 발생하지 않는 한 유한한 목록만 허용됨을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 아인슈타인 프레임에서의 시공간 특이성이 동치 변환을 통해 조르단 프레임에서 정규 표면으로 매핑될 수 있는 조건은 무엇인가?
• RQ2 스칼라-텐서 및 고차원 중력 이론에서 정적이고 구형 대칭인 스칼라 진공 해의 전역 인과적 구조는 일반 상대성 이론에서 일정한 스칼라 장을 가진 경우와 어떻게 비교되는가?
• RQ3 특히 스칼라-텐서 및 고차원 중력의 맥락에서, 구면 또는 호이즌을 통해 동치 연장이 발생하기 위한 필수 조건은 무엇인가?
• RQ4 이 이론들에서 정규 블랙홀 또는 웜홀 유사 해가 존재할 수 있으며, 그 경우 잠재력 또는 곡률 함수에 어떤 특정 제약 조건이 필요한가?
• RQ5 왜 대부분의 스칼라-텐서 및 고차원 중력 이론에서 동치 연장이 실패하는가? 그리고 이러한 경우에서 유일한 예외적인 경우는 무엇으로 구분되는가?

주요 결과

• 특이성이 아인슈타인 프레임에서 발생할 때 조르단 프레임에서 정규 표면으로 매핑되는 동치 변환 연장은 동치 인자 또는 곡률 함수에 대한 엄격한 조건이 충족될 경우에만 가능하다.
• 스칼라-텐서 이론에서는 표면 $ \phi = \phi_0 $ 를 통해의 연속이 가능하려면 잠재력 $ U(\phi) $ 가 $ \phi_0 $ 에서 홀수 차수의 영점이 있어야 하며, $ f(\phi_0) = 0 $ 이고 $ df/d\phi(\phi_0) \neq 0 $ 이어야 한다.
• 고차원 중력에서는 표면 $ R = R_0 $ 를 통해의 연속을 위해서는 $ f(R) $ 가 $ R_0 \neq 0 $ 에서 최소한 이차 영점을 가져야 하며, 특이성 근처에서 $ V(\varphi) \sim 1/\sqrt{\rho} $ 여야 한다.
• 일반적인 스칼라-텐서 및 고차원 중력 이론에서는 동치 연장이 발생하지 않으며, 따라서 전역 인과적 구조는 일정한 스칼라 장의 경우와 동일한 목록으로 제한된다. 이는 정규 블랙홀이나 웜홀이 존재하지 않음을 의미한다.
• 호이즌을 통해 가능한 유일한 연속은 전체 아인슈타인 프레임 해가 T영역(시간적 영역)에 있을 경우이며, 스칼라 잠재력이 $ \rho = 0 $ 근처에서 $ V(\varphi) \sim 1/\sqrt{\rho} $ 와 같이 행동할 때이다.
• 결과적으로 대부분의 보조 중력 이론(스칼라-텐서 및 고차원 중력)은 일반 상대성 이론에서 최소 결합 스칼라 장을 갖는 경우와 동일한 전역 구조 제약 조건을 물려받으며, 잠재력 또는 곡률 함수에 특정한 정밀 조정된 조건이 충족되지 않는 한 이러한 제약이 유지된다.