[논문 리뷰] Scale Invariance, Conformality, and Generalized Free Fields

Anatoly Dymarsky, Kara Farnsworth외 3명|arXiv (Cornell University)|2014. 02. 25.

Black Holes and Theoretical Physics참고 문헌 21인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 스케일 불변 4차원 양자장론이 반드시 등각 대칭을 가져야 한다는 주장의 핵심 결함을 제거하기 위해, 에너지-모멘텀 텐서의 트레이스 $T^\mu{}_{\mu}$가 일반화된 자유장일 수 없다는 것을 입증한다. 스케일 이상을 설명하기 위해서는 차원 2의 스칼라 연산자 $L$가 존재해야 하며, 이 경우 개선된 에너지-모멘텀 텐서 $T'^{\mu\nu}$가 존재하여 일반화된 자유장이 아니게 된다. 따라서 유니타리성과 로렌츠 불변성을 가정할 경우 4차원에서 비등각 스케일 불변 이론은 존재할 수 없다.

ABSTRACT

This paper addresses the question of whether there are 4D Lorentz invariant unitary quantum field theories with scale invariance but not conformal invariance. An important loophole in the arguments of Luty-Polchinski-Rattazzi and Dymarsky-Komargodski-Schwimmer-Theisen is that trace of the energy-momentum tensor $T$ could be a generalized free field. In this paper we rule out this possibility. The key ingredient is the observation that a unitary theory with scale but not conformal invariance necessarily has a non-vanishing anomaly for global scale transformations. We show that this anomaly cannot be reproduced if $T$ is a generalized free field unless the theory also contains a dimension-2 scalar operator. In the special case where such an operator is present it can be used to redefine ("improve") the energy-momentum tensor, and we show that there is at least one energy-momentum tensor that is not a generalized free field. In addition, we emphasize that, in general, large momentum limits of correlation functions cannot be understood from the leading terms of the coordinate space OPE. This invalidates a recent argument by Farnsworth-Luty-Prilepina (FLP). Despite the invalidity of the general argument of FLP, some of the techniques turn out to be useful in the present context.

연구 동기 및 목표

• 4차원에서 스케일 불변이지만 등각 대칭이 아닌 양자장론에 대한 기존 논증에서 발생하는 중요한 결함을 해결하기 위해.
• 에너지-모멘텀 텐서의 트레이스 $T^\mu{}_{\mu}$가 일반화된 자유장일 수 있는지 분석하기 위해.
• 일반화된 자유장이 차원 2의 스칼라 연산자가 존재하지 않는 한 스케일 이상을 재현할 수 없음을 보여주기 위해.
• 그러한 연산자가 존재할 경우, 일반화된 자유장이 아닌 개선된 에너지-모멘텀 텐서 $T'^{\mu\nu}$가 존재함을 보여주기 위해.
• Farnsworth-Luty-Prilepina (FLP)가 제기한 관련 함수의 고운동량 극한에 대한 최근 논증을 무효화하기 위해.

제안 방법

• 효율적 작용 $W[g_{\mu\nu}]$에 대한 Weyl 스케일을 적용한 메트릭 $g_{\mu\nu} = \Omega^2 \eta_{\mu\nu}$에 대한 함수도함수를 통해 연결된 진폭 $A_n(x_1,\ldots,x_n)$의 정의를 사용하여, $T^\mu{}_{\mu}$의 같은 점과 분리된 점에서의 상관 함수를 구성한다.
• 푸리에 변환을 통해 운동량 공간 진폭 $\tilde{A}_n(p_1,\ldots,p_n)$를 적용하여, $T^\mu{}_{\mu}$에 결합된 닐론 장의 산란 진폭을 분석하며, 특히 $p_i^2 = 0$ 조건을 만족하는 온쉘 케이네틱스에서의 행동을 다룬다.
• 유니타리성을 활용하여, $p_i^2 = 0$일 때 행렬 원소 $\langle \Psi | \tilde{T}(p_1) \cdots \tilde{T}(p_n) | 0 \rangle = 0$임을 보여, $T^\mu{}_{\mu}$의 구조에 대한 제약 조건을 도출한다.
• 스케일 이상의 분석을 통해 일반화된 자유장이 차원 2의 스칼라 연산자 $L$가 존재하지 않는 한 이상을 재현할 수 없음을 입증한다.
• 차원 2의 스칼라 연산자 $L$가 존재할 경우, $T'^{\mu\nu} = T^{\mu\nu} + \frac{1}{3}(\partial^\mu \partial^\nu - \eta^{\mu\nu} \Box)L$로 정의되는 개선된 에너지-모멘텀 텐서 $T'^{\mu\nu}$가 존재하며, 이는 일반화된 자유장이 아니라는 것을 보여준다.
• Farnsworth-Luty-Prilepina (FLP)의 고운동량 극한에 대한 논증을 재검토하여, OPE 행동에 대한 잘못된 가정 때문에 실패함을 보이며, 일부 FLP 기법은 유용하게 재사용된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 4차원 유니타리 스케일 불변 양자장론에서 에너지-모멘텀 텐서의 트레이스 $T^\mu{}_{\mu}$는 일반화된 자유장일 수 있는가?
• RQ2 만약 $T^\mu{}_{\mu}$가 일반화된 자유장이라면, 이는 이론의 스케일 이상을 재현할 수 있는가?
• RQ3 차원 2의 스칼라 연산자가 존재할 경우, $T^{\mu\nu}$를 개선하여 그 개선된 텐서가 일반화된 자유장이 아니게 할 수 있는가?
• RQ4 Farnsworth-Luty-Prilepina (FLP)의 관련 함수의 고운동량 극한에 대한 논증은 스케일 불변이지만 등각 대칭이 아닌 이론의 맥락에서 유효한가?
• RQ5 4차원 유니타리 로렌츠 불변 양자장론 중에서 스케일 불변이지만 등각 대칭이 아닌 이론을 구성하는 것은 가능한가?

주요 결과

• 에너지-모멘텀 텐서의 트레이스 $T^\mu{}_{\mu}$는 이론에 차원 2의 스칼라 연산자가 존재하지 않는 한 일반화된 자유장일 수 없다.
• 그러한 차원 2의 스칼라 연산자 $L$가 존재할 경우, 일반화된 자유장이 아닌 개선된 에너지-모멘텀 텐서 $T'^{\mu\nu}$를 구성할 수 있다.
• 스케일 이상은 일반화된 자유장 $T^\mu{}_{\mu}$로는 재현될 수 없으며, 차원 2의 스칼라 연산자가 존재할 경우에만 가능하다.
• Farnsworth-Luty-Prilepina (FLP)의 관련 함수의 고운동량 극한에 대한 논증은 잘못된 OPE 행동에 대한 가정 때문에 무효화된다.
• 이 논문은 $p_i^2 = 0$일 때 행렬 원소 $\langle \Psi | \tilde{T}(p_1) \cdots \tilde{T}(p_n) | 0 \rangle = 0$임을 보여주며, 이는 비등각 스케일 불변 이론에 대한 핵심 제약 조건이 된다.
• 명시적 계산을 통해 3점 함수 $\langle \mathcal{O}(x_1)\mathcal{O}(x_2)\mathcal{O}(x_3)\rangle \propto 1/(x_{12}^4 x_{23}^4 x_{31}^4)$로부터 유도된 이상 다항식이 닐론 3점 함수에서 정확한 스케일 이상을 재현함을 확인한다.