[논문 리뷰] Scaling limit of the local time of the $(1,L)-$random walk

Wenming Hong, Hui Yang|arXiv (Cornell University)|2014. 02. 17.

Stochastic processes and statistical mechanics참고 문헌 3인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 (1,L)-랜덤 워크의 국소 시간의 척도 극한을 그 내재된 다형형 브랜치 프로세스 구조를 활용하여 확립한다. 유한차원 분포의 수렴과 컴팩트니스를 통해 Rogers(1984)의 단순 대칭 랜덤 워크에 대한 결과를 (1,L)의 일반화된 경우로 확장하여, 스케일링된 국소 시간이 확률적 미분방정식으로 정의되는 확산 과정으로 약한 수렴함을 증명한다.

ABSTRACT

It is well known (Donsker's Invariance Principle) that the random walk converges to Brownian motion by scaling. In this paper, we will prove that the scaled local time of the $(1,L)-$random walk converges to that of the Brownian motion. The results was proved by Rogers (1984) in the case $L=1$. Our proof is based on the intrinsic multiple branching structure within the $(1,L)-$random walk revealed by Hong and Wang (2013).

연구 동기 및 목표

• 다양한 (1,L)-랜덤 워크로 일반화된 단순 대칭 랜덤 워크의 국소 시간에 대한 척도 극한을 확립하는 것.
• Hong과 Wang(2013)가 밝혀낸 내재된 다형형 브랜치 프로세스의 구조를 활용하여, L=1인 경우 Rogers(1984)의 국소 시간 수렴 결과를 L≥2의 경우로 확장하는 것.
• 스케일링된 국소 시간이 특정 확률적 미분방정식을 만족하는 확산 과정으로 약한 수렴함을 보이는 것.
• Hong과 Wang(2013)가 밝혀낸 내재된 다형형 브랜치 프로세스의 구조를 핵심 분석 도구로 활용하는 것.

제안 방법

• L=2일 때, 첫 N번의 외출 동안 위치 j에서의 국소 시간을 2형형 비판적 브랜치 프로세스의 선형 기능으로 표현하며, 입자 유형은 j로의 이동과 j+1로의 이동에 대응한다.
• 브랜치 프로세스 표현을 이용해 스케일링된 국소 시간 과정의 유한차원 분포를 도출한다.
• 유한차원 분포의 수렴과 컴팩트니스를 검증하여 스코로호드 공간 D[0,∞)에서의 약한 수렴을 증명한다.
• 브랜치 프로세스의 2차 모멘트에 대한 모멘트 유계를 활용하여 컴팩트니스를 확립하며, Nakagawa(1986)의 기법을 다형형 프로세스에 적응하여 수정한다.
• 레이-나이트 정리와 브라운 운동의 척도 성질을 활용하여 극한 과정을 알려진 브라운 운동의 국소 시간 결과와 연결한다.
• 생성함수와 조건부 모멘트 생성함수를 사용하여 브랜치 프로세스의 증분을 분석하고 분포 수렴을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 적절한 척도 하에서 (1,L)-랜덤 워크의 국소 시간이 극한 과정으로 수렴하는가? 만약 그렇다면 그 극한의 성격은 무엇인가?
• RQ2 내재된 다형형 브랜치 프로세스의 구조가 (1,L)-랜덤 워크의 국소 시간 척도 극한 분석에 활용될 수 있는가?
• RQ3 국소 시간의 척도 극한은 브라운 운동의 국소 시간과 어떻게 관련이 있는가? 특히 레이-나이트 정리의 관점에서 어떻게 해석되는가?
• RQ4 스코로호드 위상에서 스케일링된 국소 시간 과정의 컴팩트니스를 보장하는 조건은 무엇인가?
• RQ5 극한 과정은 특정 확률적 미분방정식으로 정의되는 확산 과정인가? 그리고 그 과정은 점프 분포의 매개변수에 어떻게 의존하는가?

주요 결과

• 스케일링된 국소 시간 과정 $ l_N(x) $ 는 $ D[0,\infty) $ 에서 확률적 미분방정식 $ H(x) = \frac{2}{\sigma^2} + \frac{2}{\sigma}\int_0^x (H(s)^+)^{1/2} dB_s $ 를 만족하는 확산 과정 $ H(x) $ 로 약한 수렴한다. 여기서 $ B $ 는 표준 브라운 운동이다.
• 극한 과정 $ H(x) $ 는 $ H(0) = \frac{2}{\sigma^2} $ 인 연속 상태 브랜치 프로세스이며, 그 전이 밀도는 $ \int e^{-\lambda y} p_t(x,dy) = \exp\left(-x \frac{\lambda}{1 + \frac{2}{\sigma^2} \lambda t}\right) $ 를 만족한다.
• 스케일링된 국소 시간의 유한차원 분포는 모멘트 생성함수 분석과 시간 간격에 대한 귀납법을 통해 $ H(x) $ 의 분포로 수렴함을 보였다.
• 시퀀스 $ \{l_N\} $ 의 컴팩트니스는 브랜치 프로세스의 2차 모멘트에 대한 유계와 $ \gamma=2 $, $ \alpha>1 $ 인 하올더 타입 조건의 검증을 통해 확립되었으며, 이는 약한 수렴을 보장한다.
• 극한 과정 $ H(x) $ 는 $ \frac{1}{\sigma^2} l^*(\cdot, T) $ 와 법적으로 동일하며, 여기서 $ l^*(x,T) = l(x,T) + l(-x,T) $ 이다. 이는 0에서 수준 1에 첫 번째 도달 시간 T까지의 브라운 운동의 국소 시간과 연결된다.
• 총 질량 $ 2U_{1}(n) + U_{2}(n) $ 의 2차 모멘트는 $ n $ 에 대해 선형으로 증가하며, 渐近적 비율은 $ K_1 (U_0 \cdot \boldsymbol{\mu}) Q_2[\boldsymbol{\mu}] n $ 이다. 이는 컴팩트니스에 필요한 모멘트 행동을 확인한다.