[논문 리뷰] Schur Multipliers and Spherical Functions on Homogeneous Trees

Uffe Haagerup, Troels Steenstrup외 1명|ArXiv.org|2009. 08. 31.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 11인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 동차 트리에서의 반경 함수가 슈어 곱수임을 판별하기 위한 필수 및 필요조건을 제시하며, 헨켈 행렬의 추적 클래스 조건을 사용한다. 슈어 노름에 대한 명시적 공식을 유도하고, 이를 자유군 $\mathbb{F}_N$ 및 $p$-진군 ${PGL}_2(\mathbb{Q}_q)$에서의 완전히 유계운 Fourier 곱수 노름을 계산하는 데 응용하여, 유계성에 대한 정확한 스펙트럼 조건을 밝혀낸다.

ABSTRACT

Let X be a homogeneous tree of degree q+1 (for q between 2 and infinity) and let f be a complex function on X times X for which f(x,y) only depend on the distance between x and y in X. Our main result gives a necessary and sufficient condition for such a function to be a Schur multiplier on X times X. Moreover, we find a closed expression for the Schur norm of f. As applications, we obtain a closed expression for the completely bounded Fourier multiplier norm of the radial functions on the free (non-abelian) group on N generators (for N between 2 and infinity) and of the spherical functions on the p-adic group PGL_2(Q_q) for every prime number q.

연구 동기 및 목표

• 동차 트리에서의 반경 함수가 슈어 곱수임을 특성화하기 위해.
• 그러한 함수의 슈어 노름에 대한 닫힌 표현식을 유도하기 위해.
• 결과를 자유군 $\mathbb{F}_N$ 및 $p$-진군 ${PGL}_2(\mathbb{Q}_q)$에서의 완전히 유계운 Fourier 곱수 노름을 계산하는 데 응용하기 위해.

제안 방법

• 유한한 힐버트 공간으로의 유계된 사상에 의한 슈어 곱수의 그로텐디크 특성화를 사용한다.
• 반경 함수 $\dot{\varphi}$ 에서 $h_{i,j} = \dot{\varphi}(i+j) - \dot{\varphi}(i+j+2)$ 를 통해 헨켈 행렬 $H$ 를 정의한다.
• $\tilde{\varphi}$ 가 슈어 곱수일 필요충분조건이 $H$ 가 추적 클래스임을 증명하며, 슈어 노름은 $c_\pm$ 과 $\|H\|_1$ 또는 가중치가 부여된 $\ell^1$-노름에 의존한다.
• 펜델의 헨켈 연산자에 대한 추적 클래스 특성화를 적용하여 반경 슈어 곱수의 적분 표현을 도출한다.
• 구사(map $\rho$)를 통해 트리 $X = G/K$ 상의 원형 함수를 그룹 $G = {PGL}_2(\mathbb{Q}_q)$ 상의 원형 함수와 연결하며, 무타너의 매개변수화를 사용한다.
• 스펙트럼 조건 $\mathrm{Re}(s)^2 + \big(\frac{q+1}{q-1}\big)^2\mathrm{Im}(s)^2 < 1$ 를 사용하여 $M_0A$ 노름의 유계성을 결정한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 차수 $q+1$ 의 동차 트리에서 슈어 곱수인 반경 함수는 무엇으로 특성화되는가?
• RQ2 그러한 함수의 슈어 노름은 반경 함수의 값에 대해 정확히 어떻게 표현되는가?
• RQ3 자유군 $\mathbb{F}_N$ 상의 원형 함수는 해당 동차 트리에서의 슈어 곱수와 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ4 ${PGL}_2(\mathbb{Q}_q)$ 상의 반경 함수에 대한 완전히 유계운 Fourier 곱수 노름은 무엇인가?
• RQ5 ${PGL}_2(\mathbb{Q}_q)$ 상의 원형 함수가 완전히 유계운 Fourier 곱수임을 보장하는 스펙트럼 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 차수 $q+1$ 의 동차 트리에서 반경 함수 $\tilde{\varphi}$ 는 헨켈 행렬 $H$ 의 원소 $h_{i,j} = \dot{\varphi}(i+j) - \dot{\varphi}(i+j+2)$ 가 추적 클래스일 때에만 슈어 곱수이다.
• 슈어 노름 $\|\tilde{\varphi}\|_S$ 는 $q = \infty$ 일 때 $|c_+| + |c_-| + \|H\|_1$ 으로 주어지고, $q < \infty$ 일 때는 $|c_+| + |c_-| + \big(1 - \frac{1}{q}\big)\|\big(I - \frac{\tau}{q}\big)^{-1}H\|_1$ 으로 주어진다. 여기서 $c_\pm = \frac{1}{2}\big(\lim \dot{\varphi}(2n) \pm \lim \dot{\varphi}(2n+1)\big)$ 이다.
• 자유군 $\mathbb{F}_N$ ($2 \leq N \leq \infty$) 에서의 완전히 유계운 Fourier 곱수 노름은 해당 동차 트리에서의 슈어 노름과 동일한 공식을 따른다.
• ${PGL}_2(\mathbb{Q}_q)$ 상의 원형 함수에 대해 $M_0A(G)$ 노름은 $\mathrm{Re}(s)^2 + \big(\frac{q+1}{q-1}\big)^2\mathrm{Im}(s)^2 < 1$ 일 때 $\frac{|1 - s^2|}{1 - \mathrm{Re}(s)^2 - \big(\frac{q+1}{q-1}\big)^2\mathrm{Im}(s)^2}$ 이고, 그렇지 않을 경우 1이다.
• ${PGL}_2(\mathbb{Q}_q)$ 상의 완전히 유계운 원형 함수의 $M_0A(G)$-노름은 스펙트럼 영역 내에서 임의로 크게 질 수 있으므로, 균일한 상한이 존재하지 않는다.