[논문 리뷰] Search by quantum walks on two-dimensional grid without amplitude amplification

Andris Ambainis, Artūrs Bačkurs외 3명|arXiv (Cornell University)|2011. 12. 14.

Quantum Computing Algorithms and Architecture참고 문헌 14인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 2차원 격자에서의 양자 워크 검색이 약물 강화 없이도 $O(\sqrt[4]{N})$ 이내의 이웃에서 marked 노드를 찾는 확률가 일정하게 유지됨을 보여준다. 이는 $O(\sqrt{N\log N})$ 단계 동안 이루어지며, 약물 강화의 $O(\sqrt{\log N})$ 오버헤드를 피함으로써 이전 방법보다 $O\left(\sqrt{\log N}\right)$의 속도 향상을 얻는다.

ABSTRACT

We study search by quantum walk on a finite two dimensional grid. The algorithm of Ambainis, Kempe, Rivosh (quant-ph/0402107) takes O(\sqrt{N log N}) steps and finds a marked location with probability O(1/log N) for grid of size \sqrt{N} * \sqrt{N}. This probability is small, thus amplitude amplification is needed to achieve Θ(1) success probability. The amplitude amplification adds an additional O(\sqrt{log N}) factor to the number of steps, making it O(\sqrt{N} log N). In this paper, we show that despite a small probability to find a marked location, the probability to be within an O(\sqrt{N}) neighbourhood (at an O(\sqrt[4]{N}) distance) of the marked location is Θ(1). This allows to skip amplitude amplification step and leads to an O(\sqrt{log N}) speed-up. We describe the results of numerical experiments supporting this idea, and we prove this fact analytically.

연구 동기 및 목표

• 2차원 격자에서의 양자 워크 검색이 $O(\sqrt{N\log N})$ 단계 후에 나타나는 확률 분포를 분석하는 것.
• 정확한 marked 노드를 측정할 확률이 작을지라도, $O(\sqrt[4]{N})$ 거리 이내에 있을 확률가 여전히 일정한지 확인하는 것.
• 출력 상태에 대한 고전적 후처리를 사용하여 약물 강화를 피할 수 있음을 보여주어 실행 시간을 향상시키는 것.

제안 방법

• 주기적 경계 조건을 가진 $\sqrt{N} \times \sqrt{N}$ 격자에서의 양자 워크를 분석하며, 4차원 코인 레지스터를 사용하는 코인된 양자 워크 모델을 사용한다.
• 알고리즘은 marked가 아닌 노드에서는 그로버의 확산 연산자 $D$를 적용하고, marked 노드에서는 $-I$를 적용하며, 시프트 연산자는 그대로 유지된다.
• 분석은 $O(\sqrt{N\log N})$ 단계 이후의 상태 변화에 집중하며, 내적 $\langle \psi(t) | \psi(0) \rangle$가 작아져 균일 상태에서의 심한 이탈을 나타낸다.
• 논문은 삼각함수 합의 경계와 渐近 분석을 사용하여, marked 노드로부터 $O(\sqrt[4]{N})$ 거리 이내에 있을 확률가 $\Theta(1)$임을 해석적으로 증명한다.
• 형태 $\sum_{k=1}^{n} \frac{\cos(2\pi n^{\epsilon-1}k)}{k}$ 의 합에 대한 경계를 유도하여, 진폭의 주요 기여가 marked 노드 주변의 이웃에 집중되어 있음을 보여준다.
• 고전적 후처리를 통해 marked 노드를 높은 확률의 이웃에서 추출함으로써 약물 강화를 피할 수 있으며, 이는 $O(\sqrt{\log N})$ 단계의 절감을 이룬다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 2차원 격자에서의 양자 워크 상태가 $O(\sqrt{N\log N})$ 단계 후에 나타나는 확률 분포는 어떻게 되며, 특히 marked 노드에의 근접성에 대해 어떻게 되는가?
• RQ2 정확한 marked 노드를 측정할 확률가 $O(1/\log N)$일지라도, $O(\sqrt[4]{N})$ 거리 이내에 있을 확률가 0에서 멀리 떨어져 있을 수 있는가?
• RQ3 출력 상태에 대한 고전적 후처리를 통해 약물 강화 없이도 일정한 성공 확률을 달성할 수 있는가?
• RQ4 항등 $n^{\epsilon-1}$ 을 포함하는 삼각함수 합의 渐近 행동이 양자 워크의 진폭 분포에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 약물 강화를 생략했을 때, 양자 워크 검색의 전체 실행 시간 복잡도에 어떤 영향을 미치는가?

주요 결과

• 2차원 격자에서 $O(\sqrt{N\log N})$ 단계 후에 $O(\sqrt[4]{N})$ 거리 이내에 있을 확률는 $\Theta(1)$이며, 이는 0에서 멀리 떨어져 있음을 의미한다.
• 정확한 marked 노드를 측정할 확률가 $O(1/\log N)$일지라도, 그 $O(\sqrt[4]{N})$ 이내의 이웃에 있을 확률는 일정하여 고전적 후처리를 통해 marked 노드를 찾을 수 있다.
• 출력 상태의 이웃에서 marked 노드를 추출하기 위해 고전적 후처리를 사용함으로써 약물 강화가 필요 없어지며, 이는 $O(\sqrt{\log N})$ 단계의 추가를 방지한다.
• 해석적 증명은 형태 $\sum_{k=1}^{n} \frac{\cos(2\pi n^{\epsilon-1}k)}{k}$ 의 합을 경계하여 $O(\ln n)$임을 보이며, 대칭성을 이용해 진동 성분을 상쇄시킨다.
• 표준 양자 워크 검색에 약물 강화를 사용한 경우 총 실행 시간이 $O(\sqrt{N}\log N)$이므로, 이 방법은 $O\left(\sqrt{\log N}\right)$의 속도 향상을 달성한다.
• 수치 실험은 분석 결과를 지지하며, 진폭이 marked 노드의 일정한 확률 이웃에 집중되어 있음을 확인한다.